複素関数のtaylor展開

質問

次の問題がわかりません。
だれか詳しく解答作っていただけると助かります。

ｆ（ｚ）＝２ｚ/ｚ－１を[z-1]<1におけるｚ＝１でのまわりでのtaylor
展開を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

それと A No.2 のどこに何の違いがあるというのか。
まったく毎度毎度そういうまねを… 何のつもりか！

回答No.3

info22_

>z=2のまわりのtaylor展開

z-2=tとおくと z=t+2
f(z)=f(t+2)=2(t+2)/(t+1)=2+2/(t+1)
g(t)=1/(t+1)=1/(1-(-t))
初項1,公比-tの無限等比級数和の形なので
g(t)=1-t +t^2 -t^3 +t^4 - ...
f(z)=2+2g(z-2)
=4-2(z-2)+2(z-2)^2 +2(z-2)^3 +2(z-2)^4 - ... ←（答え）

回答No.2

alice_44

それなら、前の変形の続きで、
f(z) = 2/(z-1) + 2
= 2 + 2/(1+(z-2)).
右辺第二項が、初項 2 公比 -(z-2) の等比級数
の和であることから、
f(z) = 2 + Σ[k=0→∞] 2 (-(z-2))k乗
= 2 + Σ[k=0→∞] (2(-1)k乗) (z-2)k乗.
= 4 + Σ[k=1→∞] (2(-1)k乗) (z-2)k乗.

回答No.1

alice_44

式がよく判らないけど、
f(z) = 2z/(z-1) でいいの？
それなら、z = 1 で正則でないから、
テイラー展開は、不能。
ローラン展開せよということなら、
f(z) = 2/(z-1) + 2 で終わり。
式に書き違いがあるとしか思えない。

補足

すみません。間違ってました。
f(z)=2z/(z-1)でｚ=2のまわりのテイラー展開です！