(1)arcsin（x）のx=0でのtaylor展開を求めよ。

質問

(1)arcsin（x）のx=0でのtaylor展開を求めよ。
(2)(1)を用いて、6arcsin（1/2）を計算して、厳密値と比較せよ。
特に、x=0でのtaylor展開と
6arcsin（1/2）がわかりません。教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問の回答

（１）
>テイラー展開はできました。これを求めたことでｘ＝０でのということに
>なるのでしょうか？
テイラー展開がxのべき乗和の形に展開されているのでx=0の回りでのテイラー展開といえます。なお、x=0の回りのテイラー展開をマクローリン展開といいます。

（２）
ｆ１５（１／２）が３．１４５９１９８・・・となりません。
>fn(x)をf(x)のx^nの項までの和とすれば
と置いたので
f15(1/2)はx^15以下の次数の項の和です。項数で言えば８つ目までの項の和です。
f15(1/2)=

質問者さんの式では
f15(1/2)として　前から15項の和(つまりxの29乗以下の項の和)の式でx=1/2と置いていますので、これは f29(1/2)になります。
当然　f29(1/2)≠f15(1/2)
ですね。

補足

だんだんわかってきましたが、x=0の回りでのという「回り」というのがなんだかわかりにくいです…

回答No.1

info22_

(1)
公式の定義式を計算するだけ。
何が分からないのでしょうか？

f(x)=sin^-1(x)
=x+x^3/6+(3/40)x^5+(5/112)x^7+(35/1152)x^9+(63/2816)x^11
+(231/13312)x^13+(143/10240)x^15 +...

(2)
y=sin^-1(1/2)(0<y<π/2)とおくと
sin y =1/2 ∴y=π/6

6sin^-1(1/2)=6*(π/6)=π=3.141592653589793
fn(x)をf(x)のx^nの項までの和とすれば
近似値の計算
たとえば
f15(1/2)=3.141591982358383

補足

（１）テイラー展開はできました。これを求めたことでｘ＝０でのということになるのでしょうか？
（２）ｆ１５（１／２）が３．１４５９１９８・・・となりません。
n=１５までだから、x+x^3/6+(3*x^5)/40+(5*x^7)/112+(35*x^9)/1152+(63*x^11)/2816+(231*x^13)/13312+(143*x^15)/10240+(6435*x^17)/557056+(12155*x^19)/1245184+(46189*x^21)/5505024+(88179*x^23)/12058624+(676039*x^25)/104857600+(1300075*x^27)/226492416+(5014575*x^29)/973078528+...でｘ＝１／２にするといいんですよか？そうすると
0.52359877559549になるのですが、どこが違うか教えてもらえませんか？