ローラン展開

質問

ｆ（ｚ）＝ｚ/((Z+1)^2(z+2))をz=-1のまわりにローラン展開せよ。

この問題がわかる方がいらっしゃいましたら解説お願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足質問の回答
>ローラン展開についてあまりよくわかっていないのですが・・|z+1|<1と，|ｚ+1|>1の2と通りに分けて展開しなくてよいのでしょうか？

分ける必要は全くありません。z=1の周りのべき級数展開（マイナスべき乗項含む）と言うことでz≒1のごく近くでの展開と考えて下さい。
つまり、#3さんが言われているようなことです。

もう少しローラン展開について調べて見てください。
ローラン展開はどんな用途に使われるか、その用途でのローラン展開がどんな意味をもつと考えて見てください。

主に一位の極を求めたり、留数を求めたりするために利用されます。
複素積分との関係で考えてみると良いでしょう。

お礼

ありがとうございます！ローラン展開についてもう一度調べてみます！

回答No.3

Tacosan

正確なところはきちんと確認してほしいんだけど, ちょ～おおざっぱにいえば
「ローラン展開は指定した点の『近く』しか考えなくていい」
です.

お礼

そういうとこなんですか！ありがとうございます！

回答No.2

info22_

z/(z+2)=1-2/(z+2) なので
順にテーラー展開を求めていくと
1/(z+1)=1-z+z^2-z^3+z^4- …+{(-1)^n}x^n+ …

1/(z+2)=1/((z+1)+1)
=1-(z+1)+(z+1)^2-(z+1)^3+(z+1)^4- … +{(-1)^n}(z+1)^n+ …

-2/(z+2)
=-2+2(z+1)-2(z+1)^2+2(z+1)^3-2(z+1)^4+ … -2{(-1)^n}(z+1)^n+ …

z/(z+2)=-1+2(z+1)-2(z+1)^2+2(z+1)^3-2(z+1)^4
+ … -2{(-1)^n}(z+1)^n+ …

求めるローラン展開は　(z+1)^2 で割ればよいから
f(z)=ｚ/(((z+1)^2)*(z+2))
=-1/(z+1)^2+2/(z+1)-2+2(z+1)-2(z+1)^2
+ … -2{(-1)^n}(z+1)^(n-2) + …

補足

ローラン展開についてあまりよくわかっていないのですが・・|z+1|<1と，|ｚ+1|>1の2と通りに分けて展開しなくてよいのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

z+2 = (z+1)+1

お礼

ありがとうございました。