複素関数の写像の問題です。

質問

z平面で定義された一次分数変換ω=f(z)で領域｛z││z-1│<1}　を{ω│Imω＞0}に写像し、かつf(1/2)=i　f(0)=0であるものを求めよ。という問題なのですが、解答は非調和比保存の定理を用いて解答しているのですがその際　z=2の点がなぜω=∞になるのか分からなく困っています。手助けお願いします。

回答No.2

hiccup · ベストアンサー

|z-1|=1 、z=0 と z=1/2 を直径の端点とする円周、z=1/2 と z=2 を直径の端点とする円周
の３つの円の行き先を考えてはどうでしょう。

１番目の円周は実軸∪{∞}に写されるから、２番目の円は w=0 で実軸に接し w=i を通る円周に写される。
これを C_1 とすれば、３番目の円は w=i で C_1 に接し実軸∪{∞} と共有点をもつ円周、すなわち w=i∪{∞} に写される。
f(2) = ∞。

で、どう？
いわゆる円円対応です。

回答No.1

muturajcp

f(z)=3iz/(z+1)=3i[1-{1/(z+1)}]
とすると
f(1/2)=i
f(0)=0
|z-1|<1のとき
z=x+iy
ω=f(x+yi)
=3i[1-{1/(x+1+iy)}]
=3i[1-(x+1-iy)/{(x+1)^2+y^2}]
ω=f(x+yi)=Reω+i*Imωとすると
Imω=3{(x+1)^2+y^2-(x+1)}/{(x+1)^2+y^2}
で
(x+1)^2+y^2-(x+1)
=x^2+x+y^2
=(x+1/2)^2+y^2-1/4
=|z+1/2|^2-1/4
≧(|1-(-1/2)|-|z-1|)^2-1/4
>(3/2-1)^2-1/4=(1/2)^2-1/4=0
だから
Imω>0
ω=f(2)=2i≠∞
∴
z=2のときω=∞になるとは限らない

f(z)=3iz/(2-z)=3i{-1+2/(2-z)}
とすると
f(1/2)=i
f(0)=0
|z-1|<1のとき
z=x+iy
(x-1)^2+y^2<1
f(x+yi)
=3i[-1+2/(2-x-yi)]
=3i[-1+2(2-x+iy)/{(2-x)^2+y^2}]
Imω=Imf(x+yi)
=3{-(2-x)^2-y^2+2(2-x)}/{(2-x)^2+y^2}]
で
-(2-x)^2-y^2+2(2-x)}
=-x^2+2x-y^2=1-(x-1)^2-y^2>0
だから
Imω>0
この場合はω=f(2)=∞になる