arcsinh(x)のtaylor展開

質問

arcsinh(x)のtaylor展開の仕方が分かりません。
wikipediaに載っている公式は知っているのですが、なぜそのようになるのか、「解き方」が分かりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

問題の丸投げはマナー違反です。

taylor展開はx=aの周りの展開です。aの値を書いて質問して下さい。
Maclaurin展開ならx=0の周りの展開です。

ヒント）
Maclaurin展開の場合は
http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html
のような展開（＊）ですから、

f(x)=arcsinh(x)
を一回、2回、3階…と微分して下さい。
そしてそれぞれx=0をおけばいいでしょう。
そして 展開式（＊）に代入するだけです。

{arcsinh(x)}'=(1+x^2)^(-1/2)
ですから、後はどんどん微分するだけです。
微分しても分子がxのべき乗の項はx=0となりますので、分子が定数項の項だけに思うより簡単にx=0における微係数は簡単に求まりますよ。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
以後気をつけたいと思います。

解答も非常に分かりやすかったです。
本当にありがとうございました。