複素関数 ローラン展開

質問

f(z) = 1 /(z^2 + 1)^2

が２位の極z=i を持つらしいのですが、どうもうまく
変形（展開）ができません。

f(z) = a / (z-i)^2 + ...

という具合に変形すればいいのでしょうけれど、何か
ヒントをいただけないでしょうか？

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

z^2+1=(z+i)(z-i)なので、f(z)=1/(z+i)^2(z-i)^2となります。
z=iの近傍で考えれば、1/(z+i)^2は正則なので、これをg(z)とおけば、
z=iの近傍では、f(z)=g(z)/(z-i)^2と表せます。
g(i)≠0なので、z→iのとき、f(z)は無限遠点に行き、z=iは特異点です。
z→iのとき、(z-i)f(z)=g(z)/(z-i)は無限遠点に行きますが、
(z-i)^2f(z)=g(z)は有限な値に収束し、z=iはf(z)の２位の極である
ことが分かります。
z=αがf(z)のk位の極であるということは、(z-α)^j（j＜k）をf(z)に
掛けた(z-α)^jf(z)ではz=αはまだ特異点のままですが、(z-α)^kを
掛けた(z-α)^kf(z)にすると、z=αは特異点ではなくなるということで
す。要するに、z-αの何乗かをf(z)に掛ければ、特異点が解消される
ということで、そのような最小のべきがkの場合、k位の極ということで
す。これは、z=αをk位の極に持つ関数をローラン展開してみればすぐ
に分かると思います。マイナスの方の展開がck/(z-α)^kで止まります
ので。
また、z-αの何乗をf(z)に掛けても特異点が解消されない場合、z=α
はf(z)の真性特異点となります。
これは、ローラン展開のマイナスのべきの項が無限に続く場合です。

お礼

詳しく説明していただき、ありがとうございます。
なにかローラン展開の意味がわかってきた気がします。
真性特異点とか、単に定義かと思ったら
そういう意味があるんですね。
とても勉強になりました！ありがとうございました！

回答No.1

koko_u_

>が２位の極z=i を持つらしいのですが、どうもうまく
> 変形（展開）ができません。
正直、見たまんまなんですが。。。

試験の解答で必要な場合は 1/{(z-i)^2(z+i)^2} として、
1/(z+i)^2 を z = i のまわりで展開して下さい。

お礼

どうもありがとうございます。
力不足でお恥ずかしいです。
1/(z+i)^2 はz=iで正則なのでテイラー展開できるんですね…orz
ありがとうございました。