複素関数のローラン展開とその留数について

質問

以下の関数のローラン展開とその留数についてお尋ねしたいことがあります。

f(z)=(z-3)*sin(1/(z+2))をz=-2周りでローラン展開すると、どのような形になるのでしょうか？
sin(1/(z+2))をローラン展開して(z-3)を掛ければ展開した結果はわかると思ったのですが・・・

また留数についてですがこの場合z=-2が真性特異点となり該当する係数を求めればいいと思ったのですが、ローラン展開の結果が上手くそうはならないので疑問に思っています。

解析学にお詳しい方がいらっしゃいましたらアドバイスをいただけますでしょうか
よろしくお願い致します。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

sin(x)のマクローリン展開は
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ ....
を使って
xを1/(z+2)で置き換えると
sin(1/(z+2))=1/(z+2)-1/3!*1/(z+2)^3)+1/5!*1/(z+2)^5-1/7!*1/(z+2)^7+ ... (=g(z)とおく）

z-3=(z+2)-5なので(z+2)のローラン展開は
(z-3)sin(1/(z+2))=(z+2)g(z)-5g(z)
=1-5/(z+2)-1/3!*1/(z+2)^2+5/3!*1/(z+2)^3+1/5!*1/(z+2)^4-5/5!*1/(z+2)^5- ...

竜数は　1/(z+2)の係数だから
Res(z=-2)=-5