数学・算数

添付写真の問三についてです。 (2) が解説を見ても理解できなかったのでどなたか教えて下さい！

11を底とする2の対数（log[11](2)）を小数第2位まで求めよという問題で、log2やlog3などの近似値を使用せず、完全に手計算でlog[11](2)を小数第2位まで求めてみました。解法のチェックをお願いいたします。 2^3.45<11<2^3.5 …（１）であることを利用します。 （１）が成り立てば3.45<log[2](11)<3.5　なので逆数をとれば 1/3.5<log[11](2)<1/3.45 ∴0.28571<log[11](2)<0.28986　です。 （関数電卓では0.2890648263） （１）の11<2^3.5が成り立つのは、両辺を平方すれば121<2^7=128 となることから明らかです。 （１）の2^3.45<11が成り立つことの証明です。両辺を2^3で割った 2^0.45<11/8 つまり2^(9/20)<11/8 を示します。 両辺を平方して　2^(9/10)<121/64 さらに両辺を10乗した 2^9<(121/64)^10 を示せば良いことになります。 (121/64)^10の計算は楽ではありませんが、分子が1小さい（120/64)^10については（120/64)=(15/8)=(2-1/8)=(2-2^(-3))なので、 二項定理（または(a-b)^10の公式）によってこちらは手計算で計算可能で(詳細は最後に別掲) （120/64)^10>537>512=2^9 とわかります。 まとめると　2^9<(120/64)^10<(121/64)^10 で、2^3.45<11が成り立ちます。 結論　log[11](2)≒0.28　（0.28571<log[11](2)<0.28986） 計算の詳細 (2-2^(-3))^10=2^10-10・2^6+45・2^2-120・2^(-2)+210・2^(-6)-252・2^(-10)+210・2^(-14)-120・2^(-18)+45・2^(-22)-10-2^(-26)+2^(-30) =1024-640+180-30+105/32-63/256+210/2^14-120/2^18+45/2^22-10/2^26-10/2^28+1/2^30 上式の第6項までの和は、537+9/256です。第7項以降で負の項は第8項の-120/2^18と第10項の-10/2^30だけでこの和は-9/256より小です。 したがって(121/64)^10>(2-2^(-3))^10>537>512=2^9

矢印の変形ってどうやるのですか？

下のマーカーの変形ってどうやっているのですか？

下の(1)のマーカーのところってどうしてこうなるのですか？具体的な数字などで教えて欲しいです。

下の計算はどうやってaを求めているのですか？両辺を二乗するのですか？

下の青丸のところはなぜそうなるのですか？

下の問題の矢印から下ってどうしてこうなるのですか？

下の(3)のマーカー引いたところはなにかの公式ですか？これ以外の方法では解けませんか？

下の問題の(2)の矢印から下の言っていることが分からないので教えて欲しいです

下のマーカー引いたところは必ずそうしなければ解けませんか？cosx-√3sinx<0としてはいけませんか？

下のマーカー引いたところは何故そうなるのですか？

下の(2)で丸で囲ったとこはもし…のところが-2だったら+、➚となるのですがなぜそうならないのですか？

下の青マーカーを引いたところはどうしてこうなるのですか？

下の(6)は1番下の画像のように解くのはだめですか？

下の(2)は白いところで止めても丸をもらえますか？

下の(2)の問題は黒マーカーで囲ったところのように解いていってan=1/2×3のn-1乗-1としてもいいのですか？黒マーカーのところが自分の考えで青マーカーが問題の解説で赤マーカーが問題です。

この問題の解き方が分かりません。 式のたて方の解説と回答をよろしくお願いします。

下の問題のマーカーを引いたところはどこからでてきたのですか？

下のウ、エは初項をa、交差をrとして和の式を作りnについて整理して恒等式として解いてもいいのですか？