Taylor展開について

質問

（1）y＝f（ｘ）＝ｘ＾3－ｘをｘ＝1/√3でｎ（ｎ≧5）次の項までTaylor展開したときの４次の項までの多項式を求めてください。お願いします。

（２）ｙ＝ｆ（ｘ）＝1/1+ｘ＾2をｘ＝0でｎ（≧5）次までTaylor展開したときの４次の多項式まで求めてください。お願いします。
（３）ｙ＝f（ｘ）＝e^-x^2をｘ＝0でｎ（≧5）次までTaylor展開したとき、４次の多項式まで求めてください。お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

機械的に問題を書いて他力本願に頼らないで欲しいね。
君自身のタメでもあるね。

一応回答しておくと以下のようになる。
(1)
ちゃんと自分でやってみた?
>ｎ（ｎ≧5）次の項までTaylor展開したときの４次の項までの多項式を求めてください。

f(x)が３次だから４次以降は存在しないよ。

f(x)=x^3-x,f(1/√3)=-2√3/9
f'(x)=3x^2-1,f'(1/√3)=0
f''(x)=6x,f(1/√3)=2√3
f'''(x)=6,f'''(1/√3)=6
f^(n)(x)=0,f^(n)(1/√3)=0(n≧4)

テイラー展開は
f(x)=f(1/√3)+f'(1/√3)(x-1/√3)
+f''(1/√3)(x-1/√3)/2!+f'''(1/√3)(x-1/√3)^3/3!
=-(2√3/9)+√3(x-1/√3)^2+(x-1/√3)^3

[別解]
x-1/√3=tとおいて
f(t+1/√3)のtについてのマクローリン展開を求めても良い。
つまり
f(t+1/√3)=(t+1/√3)^3-(t+1/√3)
=-(2√3/9)+√3t^2+t^3
これにt=x-1/√3を代入して元の変数xに戻してやれば良いから
f(x)=-(2√3/9)+√3(x-1/√3)^2+(x-1/√3)^3

(2)
>f(x)=1/(1+x^2)
f(0)=1
f'(x)=-2x/(1+x^2)^2,f'(0)=0
f''(x)=8x^2/(x^2+1)^3 -2/(x^2+1)^2,f''(0)=-2
f'''(x)=24x/(x^2+1)^3 -48x^3/(x^2+1)^4,f'''(0)=0
f''''(x)=24/(x^2+1)^3 -288x^2/(x^2+1)^4
+384x^4/(x^2+1)^5,f'''(0)=24
f'''''(0)=0
奇数階微分のx=0でのf^(2m-1)(0)=0(m=1,2,3, ... )
テイラー展開の式に代入して
f(x)=1-x^2+x^4+ ...

(3)
>f(x)=e^(-x^2)
f(0)=1
f'(x)=-2xe^(-x^2),f'(0)=0
f''(x)=4x^2*e^(-x^2) -2e^(-x^2),f''(0)=-2
f'''(x)=12xe^(-x^2) -8x^3*e^(-x^2),f'''(0)=0
f''''(x)=16x^4*e^(-x^2) -48x^2*e^(-x^2) +12e^(-x^2).
f''''(0)=12
f'''''(0)=0
テイラー展開の公式に代入して
f(x)=1-x^2 +(1/2)x^4 + ...

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

A No.2 へ補足が付かないようなので、
もう少し説明しておこうか。

(1)
m 次多項式 f(x) = Σ[k=0…m](a_k)x^k は、
それ自体、既にマクローリン展開された形をしている。
これを x = c 中心にテイラー展開するには、
x = c+h を代入して、f(c+h) = g(h) とすればいい。
g(h) = Σ[k=0…m](b_k)h^k と書くことができて、
g(h) も h の m 次多項式になっている。
h = x-c を再度代入して、変数を x にひき戻せば、
f(x) = Σ[k=0…m](b_k)(x-c)^k となり、
この右辺が、f(x) の x = c 中心テイラー展開である。←[1]
k > m について b_k = 0 と定義すれば、
f(x) = Σ[k=0…∞](b_k)(x-c)^k と書けて、見た目が
尚更テイラー展開らしいかもしれない。(同じことだが)

(2)
テイラー展開について、収束半径の話は避けて通れない。
べき級数は収束円内で正則であって、正則関数の
性質の良さが、複素関数論の見通しの良さの源だから。
で、個々のテイラー級数について収束半径の計算法を
考えることになるが、よく使われるコーシー法も
ダランベール法も、その根拠は、等比級数の収束条件が
|公比| < 1 であることにある。
というわけで、直接に等比級数に帰着されるべき級数を
テイラー級数の一般論で扱うのは、迂遠なのだ。
1/(1+x^2) を展開するには、等比級数の公式
Σ[k=0…∞]ar^k = 1/(1-r) に a = 1, r = -x^2 を代入して、
1/(1+x^2) = Σ[k=0…∞](-x^2)^k = Σ[k=0…∞]{(-1)^k}x^(2k) ←[2]
とすればいい。

(3)
指数関数は、テイラー展開 e^z = Σ[k=0…∞](1/k!)z^k
自体を定義とする方法が標準的である。
先に書いたように、これに z = -x^2 を代入すれば、
e^(-x^2) = Σ[k=0…∞](1/k!)(-x^2)^k = Σ[k=0…∞]{(1/k!)(-1)^k}x^(2k) ←[3]
を得る。

それぞれのテイラー展開を、4 次なりなんなりで打ち切って
有限次のテイラー近似にすることには、何の計算もいらない。
上記の薀蓄たちは、べき級数の重要事項ばかりなので、
ぜひ理解しておいて欲しいと思う。

回答No.2

alice_44

かなり具体的に指示を出したつもりです。
自分で手を動かしてみてください。
作業の結果を補足に書けば、
その先のフォローはしますとも。
口を開けて待っていても、降ってくるのは
ポイント狙いの「正解」だけで、
貴方が理解できるようになるために
必要なものとは、全く違います。

(1)
f((1/√3)+h) を、h の多項式として
展開整理してみましたか？

(2)
公比 -(xの2乗) の等比級数の和の公式を
実際に書き出してみましたか？

(3)
指数関数 eのz乗 のマクローリン展開を
計算するなり、本から書き写すなりして、
z=-(xの2乗) を代入してみましたか？

まだなら、やって、
その結果を補足に書いてごらんなさい。

今回の場合、各問題をテイラー展開の
定義どおりの手順で計算するのは、
得策ではありません。

回答No.1

alice_44

(1)
多項式のテイラー展開は、代入するだけです。
x=(1/√3)+h を f(x) へ代入して、
括弧を展開しましょう。

(2)
公比 -(xの2乗) の等比級数の和と
比較してみましょう。

(3)
eのz乗 の z=0 中心のテイラー展開へ、
z=-(xの2乗) を代入してみましょう。

やってみて、解ったこと解らなかったことを
補足へどうぞ！

補足

Taylor展開について分からないので、具体的な数式で答えを示してください。お願いします。