複素関数

質問

下の問題の証明がわかりません。どなたかヒント、解法を教えていただけないでしょうか。

条件・・・f(z)はz=0で微分可能で、f'(0)=1。 さらにすべてのz1、z2 に対して、f(z1+z2)=f(z1)f(z2)が成り立つとする。次のことを証明せよ。

(a)　f(z)は　-∞<z<∞　で正則である

(b)　すべてのzについてf'(z)=f(z)

(c)　f(0)=1

回答No.1

rabbit_cat

f'(0)=1から、
lim_{z0→0} {f(z0)-f(0)}/z0 = lim_{z0→0} f(0)*{f(z0)-f(0)} = 1
が成り立つ、で、
f'(z) = lim_{z0→0} {f(z+z0)-f(z)}/z0 = lim_{z0→0} f(z)*{f(z0)-f(0)}
とか。