複素関数のローラン展開

質問

次のローラン展開の問題の解き方が分かりません。
複素関数f(z)=(1-cosz)/z^2をz=0を中心にローラン展開せよ
という問題です。
問題の途中経過まで書いてあると助かります。
どなたかお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1さんのやり方で良いですが、やって見ましたか？

まさかテーラー展開とかマクローリン展開が分からないとかないですよね？

通常、ローラン展開の公式等については例題があまり載っていないですが、それはテーラー展開とかマクローリン展開から簡単に導けるからです。つまり今回の
f(z)=(1-cosz)/z^2をz=0を中心にローラン展開する場合だと
分母を払った（掛けた）
(z^2)f(z)=1-cos(z)=g(z)
このg(x)のマクローリン展開、つまりx=0を中心とするテーラー展開を求めてやれば
いいです。
g(x)=1-cos(x)のマクローリン展開（x=0におけるテーラー展開）はどこにも載っているかと思います(cos(x)のマクローリン展開は参考URL参照)。
g(x)=1-Σ[n=0,∞] {((-1)^n)/(2n)!}x^(2n)
=-Σ[n=1,∞] {((-1)^n)/(2n)!}x^(2n) (|x|＜∞)
このxをzに変更してz^2で割ってやれば
f(z)=g(z)/z^2=-(1/z^2)Σ[n=1,∞] {((-1)^n)/(2n)!}z^(2n)
=-Σ[n=1,∞] {((-1)^(n-1))/(2n)!}z^(2n-2)

参考URL
http://assam.iic.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin1.htm
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/eiroad/eiroad08.pdf
http://www.u-gakugei.ac.jp/~nitta/taylor.pdf

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B

回答No.1

rnakamra

coszをz=0を中心としてテーラー展開する。
その式を(1-cosz)/z^2に代入すればよい。

z=0は除去可能な特異点ですので、z^(-n) (n∈N)となる項はありません。