ベクトルの問題で教えてほしいことがあります。

質問

(2)についてですが、解答例ではメネラウスの定理を使い
AR；RQ＝1+ｔ；ｔ
を導く方法を使ってますが、メネラウスの定理以外を使ってこの問題を解くことってできないのでしょうか？

他の方法も探ってますが、なかなか見つからないので。。。

お願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

ベクトルの一次結合の問題ですね。

[→BC]=[→a]で、QはBCの1:t内分点なので、
[→OQ]=[→b]+1/(t+1)・[→a]　…(1)

AR:RQ=s:(1-s)とおくと、
[→OR]
=s・[→OQ]+(1-s)・[→OA]
=s・{[→b]+1/(t+1)・[→a]}+(1-s)・[→a]
=(1-st/(1+t))・[→a]+s・[→b]　…(2)

一方、RはOC上にあり、[→OC]=[→a]+[→b]なので、
[→OR]
=k・[→a]+k・[→b]　…(3)
と記述できる。

[→a],[→b]は一次独立なので、(2)(3)より、
　1-st/(1+t)=s
これをsについて解くと,s=(1+t)/(1+2t)　…(4)
(4)を(2)に代入してこたえを求められます。

ちなみに、
AR:RQ=s:(1-s)=(1+t):t　となり、メネラウスの定理
から得られる結果と同じとなります。

いかがでしょうか。

回答No.3

keyuki

No.2の補足です。
失礼、ＯＣの長さは不要ですね。
(a+b)*1/2のベクトルの何倍かを考えればいいですね。。

回答No.2

keyuki

全く計算しても図を描いてもいないのですが、イメージしたところ…
対角線ＯＣの長さが計算できそうですよね。
そしてＡＢＲとＰＱＲが相似な二等辺三角形であることから（こうなると対角線ＯＣで２等分した半分を考えると分かりやすいかもしれませんね）相似比で持っていけそうじゃないですかね？