ベクトルの問題です。

質問

→AB≠→0　かつ　→AC≠→0　かつ　→ABと→ACが平行でないとき、s→AB＋ｔ→AC＝→0（s、t：実数）ならば、s=0かつt=0が成り立つことを示せ。

という問題です。まったく解らなかったので解答を見てもよくわかりませんでした。

解答
→AB≠→0　かつ　→AC≠→0　かつ　→ABと→ACが平行でないとき、
「s→AB＋ｔ→AC＝→0ならば、s＝0かつt＝0」・・・*
が成り立つことを、この対偶は
「s≠0またはt≠0ならば、s→AB＋ｔ→AC≠→0」・・・**
を示す事によって、証明する。

(1)s＝0　かつ　t≠0のとき
s→AB＋ｔ→AC≠→0
→0＋t→AC≠→0
t→AC≠→0
(2)s≠0　かつ　t＝0のとき
s→AB＋ｔ→AC≠→0
s→AB＋→0≠→0
s→AB≠→0
(3)s≠0　かつ　t≠0のとき
s→AB＋ｔ→AC＝→0・・・(ア)
と仮定すると、s→AB＝－ｔ→AC
→AB＝－ｔ／s→AC
→AB平行→ACとなるが、これは→ABと→ACが平行でないと矛盾する。ゆえに(ア)が成り立たないから
s→AB＋ｔ→AC≠→0
以上(1)(2)(3)より*の対偶**が成り立つので
→AB≠→0　かつ　→AC≠→0　かつ　→ABと→ACが平行でないとき、
s→AB＋ｔ→AC＝→0ならば、s＝t＝0が成り立つ。

と書いてありました。

命題の対偶を取ってそれが成り立つならば、命題は成り立つという所まではわかりました。
次に（1）（2）（3）と場合わけしていますよね！それ以降がわかりません。詳しい解説お願いします。
何で3つ場合わけが必要なのですか？
（1）（2）はただ代入しているだけですよね？
(3)は代入せずに仮定しているのですか？

すいませんが、できるだけ詳しい解説お願いします。

回答No.4

wps_2005 · ベストアンサー

ご質問にピンポイントに答えます。

(1)(2)はただ代入しているだけですよね？
　→　そのとおりです。

(3)は代入せずに仮定しているのですか？
　→　みなさんが書かれている通り、**を背理法で証明しているのですね。
　　　s＝0 とか t＝0 は代入できますが、s≠0 とか t≠0 とかは
　　　代入できませんから、背理法を使ったちょっと難しい証明となっています。

何で3つ場合わけが必要なのですか？
　→　以下の説明で納得できますでしょうか？（少々私見が入っています）
　　　本当は(3)の証明だけで済ませたいのです。
　　　ただし、(3)の証明を読むとわかりますが、
　　　・sで割っているので s＝0 だとまずい
　　　・→AB＝－t／s→AC だから →AB平行→AC という流れにしたいが、
　　　　t＝0 だと →AB＝→0 となってしまい、「平行」では説明できない
　　　という理由により、s＝0, t＝0 の場合については(3)の証明方法では
　　　説明できないのです。
　　　そのため、s＝0 の場合、t＝0 の場合については、別途証明しなければならず、
　　　これを(1)(2)としたということです。
　　　(この場合の証明自体はご指摘の通り「代入するだけ」であり、簡単です)

参考になりましたでしょうか？

回答No.3

adaga2324

もとの命題は、
「s→AB＋ｔ→AC＝→0」ならば、「s＝0かつt＝0」
ですので、対偶は、ひっくり返して、
『「s＝0かつt＝0」でない』ならば、『「s→AB＋ｔ→AC＝→0」でない』
ですね。この前半部分についてですと、sとtの場合分けは、
　１）s＝0 t＝0
２）s≠0　t＝0
　３）s＝0　t≠0
　４）s≠0　t≠0
ですから、『「s＝0かつt＝0」でない』とは、２，３，４の時を示します。ということで、場合分けをしているのです。

場合分けの理由は、それぞれの証明の中で、s、tの条件を使っているから、としか言いようがありません。証明のテクニックとでも言いましょうか、この部分は慣れるしかないようです。

回答No.2

springside

「対偶の証明」と本質的に同じですが、以下のように、「背理法」の方がわかりやすいのでは。
（これは、「√2が無理数である」ことを示すのに、結論である「無理数」を否定し、「有理数」だとすると、つまり、√2が有理数であると仮定すると矛盾が生じることを示すというヤツと同じです。）

「s=0かつt=0」の否定「s≠0またはt≠0」を仮定し、これだと矛盾が生じることを示す。
(以下、ベクトルを表す矢印は省略します。）

(1)s≠0のとき
sAB+tAC=0なので、AB=(-t/s)ACである（これは、s≠0なので、sで割り算できることがポイントです）。
これは、ABとACが平行であることを示している。しかし、ABとACは平行ではないので、矛盾である。

(2)t≠0のとき
sAB+tAC=0なので、AC=(-s/t)ABである（これは、t≠0なので、tで割り算できることがポイントです）。
これは、ACとABが平行であることを示している。しかし、ACとABは平行ではないので、矛盾である。

以上により、どちらにしても矛盾するので、「s≠0またはt≠0」は正しくない。つまり、「s=0かつt=0」である。

回答No.1

kazuma-1

対偶をとった、ということは全部入れ替わります（説明しにくいですが・・・）仮定と結論の向き（矢印の向き）が逆になり、「かつ」は「または」になります。これが対偶です。このへんは教科書に詳しく書いてあると思います。
「s≠0またはt≠0」というのは「s≠0かつt＝0」「s＝0かつt≠0」「s≠0かつt≠0」の３通りあります。教科書の集合とかのへんに書いてあると思います。難しいですね、日本語の問題みたいな気がしますが。（１）、（２）は代入すると、片方は条件から０になりますがもう片方は仮定と与えられた条件から≠０がいえます。問題の大前提で→０でない、と言っているし場合分けの条件で係数も０でないとしているので０になりませんね。（３）は、背理法という証明のやりかたで、仮定をし、そこから矛盾するとこを見つけることでその仮定が間違っていた、仮定はおかしいと導くものです。つまり
s→AB＋ｔ→AC＝→0・・・(ア)
という仮定が間違っていたから
s→AB＋ｔ→AC≠→0
がいえるわけです。この場合は、仮定（ア）が正しいとすると、ACはABの実数倍になります。ベクトルは方向と大きさを持っていますよね？ベクトルがベクトルの実数倍になるということは、方向（向き）が同じベクトルですよね？同じ向きのベクトルということは、平行だということですよね？ここで、問題文では二つのベクトルは平行でない（１行目）、と言っているのでここが矛盾している、となるわけです。
質問の内容からすると、高校生位の方ですか？ここらへんの証明はややこしく難しい所ですが、頑張ってください。