数B、位置ベクトルの図形問題教えてください

質問

閲覧ありがとうございます。

問題集の問題で回答は先生に預けているので、解き方がわからなくて困っています。
問題文をそのまま載せます。
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△ABCにおいて、辺ABを3:2に内分する点をD、△ABCの重心をGとする。そして直線DGと辺ACの交点をE、直線DGと辺BCの延長線の交点をFとするとき、次の比を求めよ。
(1)AE:EC
(2)BC:CF
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(1)はどこに文字を置いてよいかわからず、(2)は僕の見通しが違うかもしれませんが、ベクトルでPFの表し方がよくわかりません。
メネラウスとチェバの定理は使ってはいけないことになっているので、ベクトルでの解法を教えてください。
良ければ、計算などは説明は要りませんが、あまり省略しないでいただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

＃１のご回答にあるとおり、全ての点を
ベクトルＡＢ，ベクトルＡＣで表せばいいのです。

ＤやＧをベクトルで表すことが出来ますか。
ベクトルＡＤ，ベクトルＡＧをベクトルＡＢ，ベクトルＡＣで表すということです。
ＤはＡＢを３：２で内分する点であると書いてありますからできますね。
Ｇはどうでしょう。重心は中線を２：１に内分する点だということを使う高校生が多いでしょうね。その比を知らなければどうしますか。
作図で重心を求める場合は中線の交点です。「交点」であるということをベクトルでどういう風に表したらいいのか、出来ますか。
これが出来なければＥ、Ｆをベクトルであらわすことも出来ないでしょう。Ｅ、Ｆは「交点」です。

この問題のポイントは「作図で決まる交点をベクトルではどのように表したらいいのか」だろうと思います。だから「比についての定理は使わない」としているのです。

＞説明は要らない
と書いてありますが逆ですね。
どう手をつけていいのかがわからないということは考え方が分からないということですから。

お礼

回答ありがとうございます。

おかげさまで解けました!!
助かりました。

回答No.1

naniwacchi

＞ベクトルでPFの表し方がよくわかりません。
ベクトルDFのことでしょうか？

ポイントだけ書きますので、手を動かしてみて下さい。

1)平面(2次元)の話ですので、2つのベクトルで平面上の点を表すことができます。
まずは、その2つのベクトルを決めます。
ベクトルABとベクトルACとでもしてみて下さい。
（点Aが位置ベクトルの原点となります）

2)直線状の点は、定数倍として表すことができます。
たとえば、辺AC上の点を表す場合には、
ベクトルAC ＝ ベクトルAB ＋ ｋ ＊ ベクトルBC （ｋは定数）
と書けます。

3)2)で表れるベクトルBCですが、和で表してみて下さい。
ベクトルBC
＝ ベクトルBA ＋ ベクトルAC （間にAを挟み込みます）
＝ － ベクトルAB ＋ ベクトルAC
となります。

言葉で言い換えると、ベクトルBC ＝ BからCへ向かうベクトルとなりますが、
点Aを経由しても結果は同じなので、ベクトルBC ＝ BからA と AからC のベクトルの和
という風に解釈できます。
2)についても、「AからBへ向かい、BからCに沿っていくらか進んだ」と解釈できます。

これらを繰り返していけば、内分点・外分点の公式を覚えてなくても、自然と導き出せます。
きちんと図は描いて下さい。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。

そのポイントに注意してこれ以外の問題も頑張ります。