ベクトル

質問

△ABCにおいて,辺ABの中点をP,辺ACを2:1に内分する点をQとする。
直線PQとBCの交点をRとするとき,AR→をAB→,AC→で表せ。また,BR:RCを求めよ。

ヒントに、共通条件AR→＝(1－t)AB→＋tAC→,AR→＝(1－s)AP→＋sAQ→
を使う,と書いてあったのですが,なぜ,係数がこのような関係になってるのでしょうか？また,どうこの問題に帰着させればよいのでしょうか？

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

共通条件の２つの式は、「Ｒは直線ＢＣ上にある」と「Ｒは直線ＰＱ上にある」を表わしています。

※たとえば、Ｒは直線ＰＱ上にあるので、ＡＲ→＝ＡＰ→＋ｔＰＱ→＝ＡＰ→＋ｔ（ＡＱ→－ＡＰ→）＝（１－ｔ）ＡＰ→＋ｔＡＱ→

帰着は、ＡＰ→＝(1/2)ＡＢ→、ＡＱ→＝(2/3)ＡＣ→　を代入して式の係数を比較すればｓとｔの連立方程式になるのでそれを解くだけです。

回答No.2

freezebird

ベクトルNを[N]と書く。まずPはABの中点、またQはACを2:1に内分した点なので、
[AP] = (1/2)[AB]・・・(I)
[AR] = (2/3)[AC]・・・(II)
が成り立つ。

また,実数 t を用いて、
[AR] = [AB] + t[BC]
⇔[AR] = [AB] + t([AC] - [AB])
⇔[AR] = (1 - t)[AB] + t[AC] ・・・(※1)

さらに、実数 s を用いて、同様にして
[AR] = [AP] + s[PQ]
⇔[AR] = [AP] + s([AQ] - [AP])
⇔[AR] = (1 - s)[AP] + s[AQ]　　（I、IIより）
⇔[AR] = (1 - s)(1/2)[AB] + s(2/3)[AC]・・・(※2)

(※1)と(※2)の[AB]、[AC]の係数を比べて、
　　t = ～
　　s = ～
よって[AR] = ～　（以下略）

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■RはBC上にあるので、[BC]を t 倍すればいい、
■RはPQ上にあるので、[PQ]を s 倍すればいい、
という容量でセットする。