平面上のベクトル問題です

質問

ａを１より小さい正の実数、ｂを正の実数とする。三角形ＯＡＢにおいて、辺ＯＡを１：ａに外分する点をＰ、辺ＯＢを１：ｂに内分する点をＱとする。辺ＡＢと線分ＰＱの交点をＫとし、線分ＢＰと直線ＯＫの交点をＬとする。

※ベクトル省略で表記させていただきます。

（１）ＯＫ＝【（ア）ＯＡ＋（イ）ＯＢ】／【（ウ）＋（エ）】

ＯＬ＝【（ア）ＯＡ＋（イ）ＯＢ】／【（オ）＋（カ）―（キク）】

ＰＫ：ＫＱ＝Ｓ：（１―Ｓ）
ＢＫ：ＫＡ＝ｔ：（１―ｔ）
とおいてみたり、メネラウスの定理を使ったりしてみたのですが、全く分かりません。

ヒントもしくは解説をお願いします！

回答No.2

zhongguo1956

考え方は次のようではどうでしょう？（決してエレガントではありませんが）

OP　を　a　と　OA　で表わし、OQ　を　b　と　OB　で表わす。‥‥‥(1)

OK はPQを　m：1-m　に内分する点だと考えると、(1)を使ってOKが　a、b、m、OA、OB　で表わされます。

便宜上これを　OK = αOA　＋　βOB　　とします。（α、βはa、b、mで表わされる式）‥‥‥(2)

同様に、OKがABを　n：1-n　に内分する点だと考えると、OK　=　(1-n)OA　＋　nOB ‥‥‥(3)

(2)と(3)からベクトルOA、OB　は一直線上にないので（つまり一次独立なベクトル）、(2)(3)から

α＝1-n 、 β＝n

これから m 、n　についての連立方程式を解けばよいと思います。

OLの方も同様にして出来ます。LはPBを　p：1-p　（0<p<１）に内分する点と考え、また OL　＝　qOK　（　1<q　）と置けて、

前半と同様にして、p、q　が求められると思いますが‥‥‥

要は大概の問題は、このベクトルの1次独立性を使えば出来るようになっています。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

「ベクトルの問題」ということですので、ベクトルで考えましょう。
そのためには「基準」となる「点」および「2つのベクトル」を決めないといけません。
問題の流れから、点Oを位置ベクトルの原点（基準点）、↑OAと↑OBを 2つのベクトルとします。

まずは、↑OPと↑OQを↑OA、↑OBを用いて表しましょう。（変数 aと bも使います。）
↑OKや↑OLも↑OA、↑OBで表すことになりますが、そのために必要な考え方は 2つあります。

【1】直線上に点が存在することをベクトルで表す。
たとえば、点Kは辺AB上にあります。少し言い換えると、
点Oから点Kまで歩いていくのに、一度点Aを経由すると考える。
すると、点O→点A→点Kという道のりになる。
↑AKは↑ABの何倍かになるので、それを s倍とおくと
↑OK
＝↑OA+↑AK
＝↑OA+ s↑AB
＝↑OA+ s(↑AO+↑OB)
＝(1-s)↑OA+ s↑OB

と表すことができる。（これって、内分の公式の導出になっていますね。）

【2】1次独立の性質を使う。
↑OAと↑OBは、ともに↑0ではなく、平行でもないので
α↑OA+ β↑OB＝ p↑OA+ q↑OBならば、α＝ pかつ β＝ qである。

ということが言えます。
単純にいえば「係数比較ができる」ということです。

点Kであれば、直線AB上にも、直線PQ上にもあります。
点Lは、直線PB上にも、直線OK上にもあります。
2とおりの表し方ができれば、「係数比較」ができるようになりますね。

問題自体は基本レベルなので、しっかり自分で考えてみてください。