この問題の別解

質問

一直線上にない 3点 O、A、B がある。
線分 AB を 1:2 の比に内分する点を M、線分 OA を 2:3 の比に内分する点を N
直線 BN と直線 OM の交点を P とする。

(1) OM↑ を OA↑、OB↑ で表せ。
(2) OP↑ を OA↑、OB↑ で表せ。

解答・解説 にて
OM↑= 2/3 OA↑ + 1/3 OB↑
BN上や OM上に s や t と置いて、その２つの連立方程式を解く。
OP↑= 1/3 OA↑ + 1/6 OB↑

これらの s や t の連立方程式による解答やチェバ・メネラウスの定理による解答以外の
補助線を用いた解答（別解）があるそうです。

それらは、どのようなものなのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

厳密に書くのが面倒くさいので簡単に。

BNに平行になるように
MからOAに補助線を引き、交点をQとする
ΔAMQとΔABNが相似。
MQ:BN = 1:3
この時ON:OQもわかる
また，
ΔONPとΔOQMが相似。
なので
QP:OMがわかるし(1)，
PN:MQもわかる。
以上から
MQ:BN:QNが求まる(2)。

お礼

ご回答ありがとうございます。
このような解き方は、高校の教科書や参考書ではほとんど見かけないと思うのですが
あまり定番な方法ではないのでしょうか？

回答No.3

mister_moonlight

＞このような解き方は、高校の教科書や参考書ではほとんど見かけないと思うのですが、あまり定番な方法ではないのでしょうか？

勿論、高校の教科書には出てこない。私は高校時代に参考書というものを使った事がないので、参考書の事はわからない。
斜交座標自体は、高校時代に、月刊誌“大学への数学”で覚えたもの。入試問題でも使うと簡単に行くものが結構あった。

＞＞座標系{Ｏ、Ａ、Ｂ}をとり、Ｏ（0、0）、Ａ（a、0）、Ｂ（0、b）とする。

分からなければ、直交座標で、Ｏ（0、0）、Ａ（a、0）、Ｂ（b、mb）、a＞0、b＞0、m＞0　で考えると良い。つまり、Ｂが y＝mx上にある事と全く同じ事だよ。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

こんなのは“斜交座標”を使うと簡単に行く。
直交座標と同じように考えればよい。知っておくと、大変便利。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB

座標系{Ｏ、Ａ、Ｂ}をとり、Ｏ（0、0）、Ａ（a、0）、Ｂ（0、b）とする。
そうして、ＭとＮを定め（直交座標と同じ内分点の公式が使える）、直線ＢＮと直線ＯＭ（共に直交座標と同じに2点を通る直線の方程式になる）の交点がＰ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
このような解き方は、高校の教科書や参考書ではほとんど見かけないと思うのですが
あまり定番な方法ではないのでしょうか？