三角形と図形

質問

△ABCにおいてAB＝3、BC＝4、CA＝2である。
また、△ABCの内接円Oと、BC、CA、ABの接点をそれぞれP、Q、Rとする。

(問1)でcos∠BAC＝-1/4　　△ABCの面積＝3√15/4　　O半径＝√15/6
　　がわかりました。

(問2)AR=AQ＝(　　)であるから、RQ＝(　　)、sin∠RPQ＝(　　)である。

　この問題がわかりません。解答を見たのですが、
　まずなんでAR＝AQなのかがわかりません。
　続いてRB＝BP、QC＝CP、RB+QC＝BCが成り立つ理由もわかりません
　特にRB=BPとQC＝CPが成り立つ理由がわかりません。

　私は基本的な定理が抜けていることが多く
　今回もそのような気がするのですが、どなたか教えてください。

回答No.2

mizuwa · ベストアンサー

参考・概略です

図を参照してください

＞まずなんでAR＝AQなのかがわかりません。
●円外の一点から円に引いた接線の長さは等しくなります

△ＡＲＩと△ＡＱＩについて
・・・∠ＡＲＩ＝∠ＡＱＩ＝90°(Ｒ，Ｑは接点)
・・・ＡＩ＝ＡＩ(共通)
・・・ＩＲ＝ＩＱ(半径)
直角三角形の斜辺と他のいっぺんがそれぞれ等しいので
・・・△ＡＲＩ≡△ＡＱＩ
合同な図形の対応する辺は等しいので
・・・ＡＲ＝ＡＱ

＞続いてRB＝BP、QC＝CP、RB+QC＝BCが成り立つ理由
上と同様にして

△ＢＲＩと△ＢＰＩについて
・・・∠ＢＲＩ＝∠ＢＰＩ＝90°(Ｒ，Ｐは接点)
・・・ＢＩ＝ＢＩ(共通)
・・・ＩＲ＝ＩＰ(半径)
直角三角形の斜辺と他のいっぺんがそれぞれ等しいので
・・・△ＢＲＩ≡△ＢＰＩ
合同な図形の対応する辺は等しいので
・・・ＲＢ＝ＰＢ

△ＣＱＩと△ＣＰＩについて
・・・∠ＣＱＩ＝∠ＣＰＩ＝90°(Ｑ，Ｐは接点)
・・・ＣＩ＝ＣＩ(共通)
・・・ＩＱ＝ＩＰ(半径)
直角三角形の斜辺と他のいっぺんがそれぞれ等しいので
・・・△ＣＱＩ≡△ＣＰＩ
合同な図形の対応する辺は等しいので
・・・ＣＱ＝ＣＰ

以上から、
・・・ＲＢ＝ＰＢ＝ＢＰ，ＣＱ＝ＣＰ＝ＰＣ

ＲＢ＋ＱＣについて考えると
・・ＲＢ＋ＱＣ
＝ＢＰ＋ＰＣ
＝ＢＣ

●円外の一点から円に引いた接線の長さは等しくなる。

お礼

図も用意してくださったおかげで非常に分かりやすかったです！
証明も丁寧で助かりました。

解答していただきありがとうございました。またご縁があったらぜひおねがいいたします。

回答No.3

watecolor1969

Ano.1での回答に記入漏れ・誤記がありました。

このことで質問者様にご迷惑お掛けしたことをお詫び申し上げます。
誠に申し訳ございませんでした。

誤）△ARPと△AQPを比較してみてください。
正）内接円の中心をOとしたとき、△AROと△AQOを比較してみてください。

以上の正）ように書いたつもりでいました。
なお、ANo.2さんの図にあるように内接円の中心はIを使うのが一般的です。
その意味でも恥の上塗りのようですが、
お詫びとともに訂正させていただきます。

もし、質問者様の貴重な時間を、私の誤答で惑わせてしまったかと思うと
大変申し訳ない気持ちでいっぱいです。何卒ご容赦ください。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
少し悩みましたけどＮｏ.2さんの解答で理解でき
そのあとにもう一度見て、たぶんＰはＯだなと解ったので大丈夫でした。
解答していただいただけでもうれしいので気になさらないでください。
今回は回答していただきありがとうございました。

回答No.1

watecolor1969

内接円をどのように描くかご存知でしょうか？
教科書で内接円とはどういうものか確認した後、
△ARPと△AQPを比較してみてください。