メネラウスの定理について

質問

ある直線がΔＡＢＣの辺ＢＣ,ＣＡ,ＡＢまたはその延長とそれぞれの点Ｐ,Ｑ,Ｒで交われば
(BP/PC)・(CQ/QA)・(AR/RB)=1

というのが一般的な「メネラウスの定理」ですが、
中学のときに塾で次のようなメネラウスの定理を習いました。上の条件で
AQ:QC=AR*(BC+CQ):RB*PC

上の式から、どのようなプロセスを踏めば下の式にたどり着きますか？
ご教授願います。

回答No.3

take_5

＞BP+CP　なら証明できますが

これは間違いですね、訂正です。

BC+CP　→　BC-CPとして、私の解法です。

ＢＣ＝a、ＣＡ＝b、ＡＢ＝c、ＢＰ＝ax、ＱＣ＝by、ＡＲ＝cz　(0＜x＜1,0＜y＜1、0＜z＜1)する。‥‥(1)
ＣＰ＝a(1-x)、ＡＱ＝b(1-y)、ＲＢ＝c(1-z)から、これらを　(BP/PC)・(CQ/QA)・(AR/RB)=1　に代入すると、xyz＝(1-x)(1-y)(1-z)　‥‥(2)

次に、AQ:QC=AR(BC-CP):CP*RBであるから、(ＡＱ)/(ＱＣ)＝{ＡＲ*(ＢＣ-ＣＰ)}/(ＣＰ*ＲＢ)を示すと良い。

左辺＝(ＡＱ)/(ＱＣ)＝(1-y)/y 。
右辺＝{ＡＲ*(ＢＣ-ＣＰ)}/(ＣＰ*ＲＢ)＝(xz)/(1-x)*(1-z)＝(1-y)/y 。　何故なら(2)による。

計算違いはないと思いますが。。。。。。。？

補足

BC+CPのはずなんですが…
ttp://ame.dip.jp/upload/1159/777207.JPG
上の図形です。
AQ:QC=AR(BC+CP):BR*CPです。

回答No.2

take_5

＞AQ:QC=AR(BC+CP):CP*RBです

BC+CP　→　BC-CP、or、BP+CP　なら証明できますが、その条件では成立しないと思います。。。。。？

私の勘違いでしたら、御免なさい。

回答No.1

take_5

方法としては、代数的な解法が可能なんですが。。。

＞AQ:QC=AR*(BC+CQ):RB*PC

これに転記ミスがないですか？
私の計算ミスだろうか？

補足

間違いました、すみません。
AQ:QC=AR(BC+CP):CP*RBです