メネラウスの定理を使う問題

質問

ΔABCにおいて、AB:AC＝2:3である。AB,BCの中点をそれぞれM,Nとし、∠Aの2等分線がMN,BCと交わる点をそれぞれP,Dとするとき、AP/PDおよびMP/PNの値を求めよ。

この問題をメネラウスの定理を使って解こうと思っています。AP/PD＝3/5となったのですが（正しいかどうか不安です）MP/PNもメネラウスの定理で導くことはできるのでしょうか？
アドバイスいただけるとありがたいです
よろしくお願いします

回答No.2

Eudyptes · ベストアンサー

こんばんは。
回答がみなさんと少し違うので、
自信がなくなってきましたが…

△ABDと△BNMにおいて
メネラウスの定理より、
MA/BM×PD/AP×NB/DN=1…イ
ここで、問題文より
AB:AC=BD:CD=2:3
Nは、BCの中点だから、BN:NC=1:1
よって、
BD:DN:NC=4:1:5…ロ
∴DN:NB=1:5
イ式にあてはめると
1/1×PD/AP×5/1=1
ゆえにPD/AP=1/5
⇔AP/PD=5/1

同様に、
△メネラウスの定理より、
DN/BD×PM/NP×AB/MA=1…ハ
問題文、ロ式より、
DN/BD=1/4,AB/MA=2/1
よって、ハ式にあてはめると、
1/4×PM/NP×2/1=1
∴PM/NP=MP/PN=2/1

※教科書のメネラウスの定理とは
記号の順番が違います。

補足

回答ありがとうございます

BD:DN:NC=4:1:5

がどうやってわかったのかがまだわかりません。
初歩的かと思いますが回答いただければ幸いです

回答No.4

Eudyptes

こんばんは。

まず、ADは∠Aを２等分するので、
定理より、AB:AC=BD:CD=2:3
また、問題文より
BN:NC=1:1
ここまではいいですよね

ここで、BCの長さをxとすると、
BD=2/5x, CD=3/5x, BN=NC=1/2x
となりますよね。
したがって、
DN=BN-BD=1/2x-2/5x=1/10x
BD:DN:NC=2/5x:1/10x:1/2x
=4/10x:1/10x:5/10x=4:1:5
ということです☆

大丈夫でしょうか？

お礼

お二方回答ありがとうございました。
おかげさまでよくわかりました！

回答No.3

postro

#1です。訂正です
BN：NC＝１：１　、BD：DC＝２：３　　だから　BD：DN＝４：１
メネラウスの定理より
(AP/PD)(DN/NB)(BM/MA)=1
(AP/PD)(1/5)(1/1)=1
AP/PD=5

(MN/NP)(PD/DA)(AB/BM)=1
(MN/NP)(1/6)(2/1)=1
MN/NP=3
よって
MP/PN=2

回答No.1

postro

BN：NC＝１：１　、BD：DC＝２：３　　だから　BD：DN＝５：１
メネラウスの定理より
(AP/PD)(DN/NB)(BM/MA)=1
(AP/PD)(1/6)(1/1)=1
AP/PD=6

(MN/NP)(PD/DA)(AB/BM)=1
(MN/NP)(1/7)(2/1)=1
MN/NP=7/2
よって
MP/PN=5/2