線形空間 直和

質問

高校生です。
2次元実空間Ｒ2での直和分解について質問します。
互いに独立な２つのベクトル
ベクトルａ＝（ａ１，ａ２）
ベクトルｂ＝（ｂ１，ｂ２）
Ｒ2＝（ａ）+（ｂ）といっていいのでしょうか。
平行四辺形での力の分解のイメージでいいのですか。

勝手なベクトルｃ＝（ｃ１，ｃ２）を直和分解するとき
ｃのａ成分を求める行列Ｔの表現はどうなりますか。
Ｔ*ｃ＝ｊ1*ａ+ｋ2*ｂ　　ｊ１、ｋ2：スカラー
Ｔ1*ｃ＝　ｊ1*ａ
Ｔ2*ｃ＝　ｋ2*ｂ

よくわからなくなりました。よろしくお願いします。

回答No.2

yumisamisiidesu · ベストアンサー

>勝手なベクトルｃ＝（ｃ１，ｃ２）を直和分解するとき
>ｃのａ成分を求める行列Ｔの表現はどうなりますか。
この話は座標などについての話になると思います
線形代数では、一般にn次元ベクトル空間：Vの
基底Ｅ＝(a1,…,an)　(各ai∈V)に関する座標に対応する線形写像は、
　φE:V→R^n，φE(α1a1+…+αnan)=(α1,…,αn)
で定義されていています．
線形代数の本や線形代数に付いて一般的に書いてあるサイトを参考にしてほしいです．

回答No.1

eatern27

＞互いに独立な２つのベクトル
が、線形独立な２つのベクトル、という意味で

(a)などが、aで張られる空間、という意味であるならば、

＞Ｒ2＝（ａ）+（ｂ）といっていいのでしょうか。
いいと思います。
でも、直和云々という話をしているのだから、ただの＋ではなく、直和を表す記号を使った方がいいと思います。

＞平行四辺形での力の分解のイメージでいいのですか。
そんな感じでいいと思います。

後半部分についてですが、
＞Ｔ*ｃ＝ｊ1*ａ+ｋ2*ｂ　　ｊ１、ｋ2：スカラー
という事なら、任意のベクトルcに何らかの線形変換を施して、施した後のベクトルをｊ1*ａ+ｋ2*ｂのように表記していることになりますので、これだけの条件ではＴがどんな線形変換であるか求まるはずがありません。(どんな線形変換でもいいので)

質問の趣旨から言えば、
ベクトルcに対して、
c=ｊ1*ａ+ｋ2*ｂ
となるような(j1,k2)^{t}(^{t}で転置を表す事にします)を対応させるような線形変換がＴという事でしょうかね。

そうなると、
Ｔ*c=(j1,k2)^{t}
という事になります。Ｔの行列は、
c=ｊ1*ａ+ｋ2*ｂ
を(j1,k2)^{t}=の形にすれば求まります。

＞Ｔ1*ｃ＝　ｊ1*ａ
に相当するものは、
Ｔ1*c＝j1
とでもなるのでしょうか。
T1が2×2の行列なら、左辺はベクトルで、右辺は実数なので、決して等号が成り立ちません。
例えば、j1は、bと直交するベクトルとc=ｊ1*ａ+ｋ2*ｂとの内積を考えれば求まります。