線形写像・部分空間の問題

質問

TをC^3からC^3への次のような写像とする。
T(x)=(x,a)b ただし　a=(1,1,1)　b=(2,1,3) である。左図では表せていませんがa,bはともに縦の行列です。
(1) Tは線形写像であることを示せ。
(2) V={x|T(x)=0}はC^3の部分集合であることを示せ。ただし0はC^3の零ベクトルである。
(3) Vの基底を1つ求めよ。

まず二行目のT(x)=(x,a)bの表し方がよく分かりません。
また、様々な問題にあたりましたが(2)のV={x|T(x)=0}というものも初めて見て、どう考えていいのか手につかない状態です。考え方及び簡単な解法をお教えくだされば幸いです。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

まず、手前勝手な解釈から。違うようならご指摘ください。
・C^3 は、3次の縦行列。
・(x,a) は、x~(x の転置、3次の横行列)を a(3次の縦行列)に掛けたもの。
　<例> x=[x1, x2, x3]　a=[a1, a2, a3]　とすれば、(x,a) = a1x1 + a2x2 + a3x3 (これを A とする)
　　この例なら、T(x)=(x,a)b = [Ab1, Ab2, Ab3]~ (3次の縦行列)

>(1) Tは線形写像であることを示せ。T(x)=(x,a)b

　T(kx) = kT(x)　　(k は任意の定数)
　T(x+y) = T(x) + T(y)
が成立つのを示せば良い。

>(2) V={x|T(x)=0}はC^3の部分空間であることを示せ。ただし0はC^3の零ベクトルである。
> ...... V={x|T(x)=0}というものも初めて見て、どう考えていいのか手につかない状態です。

V={x|T(x)=0} は、見たとおりです。核(Ker)空間。
T(x) = [Ab1, Ab2, Ab3]~ = [0, 0, 0] が成立つような x = [x1, x2, x3]~ なる x を全て集めたもの。
それが部分空間になることを示すには、T(x) = 0, T(y) = 0 として、
　T(kx) = 0　　(k は任意の定数)
　T(x+y) = 0
が成立つのを示せば良い。

とりあえず、似たもの二項目のみにとどめます。テキストと照合してみてください。