空間ベクトルなのですが・・・

質問

１．　３点、A（２，５，１）、Ｂ（０，３，７）、Ｃ（６，０，４）があ
　　　り、点Ｄを選び、四角形ＡＢＣＤが平行四辺形にしたいのですが、
　　　Ｄの座標をどのように設定したらいいのでしょうか？

２．次の三点が一直線上にあるように定数、ａ，ｂの値を定めよ。
　　（－３，２，－１）、（２，－５，３）、（ａ，ｂ，－５）

３．ａベクトル＝（－２，－１，３）、ｂベクトル＝（１，３，２）
　　のとき、次の２式を同時に満たすベクトル、
　　ｘベクトル、ｙベクトルの成分を求めよ。
　　３ｘ＋ｙ＝ａ，７ｘ＋３ｙ＝ｂ　(ベクトル記号“→”は省略してます)

ご回答の方、お願い致します。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
４．平面ａｘ＋２ｙ－ｚ＝６と次の方程式で
　　あらわされる直線が平行となるように定数ａの値を定めよ。
　　ｘ＝１－ｔ，ｙ＝－１＋５ｔ，ｚ＝４＋７ｔ

　　この問題については、自分、法線ベクトルを用いてやったら、できたのですが、なぜ、平行なのに、法線ベクトルを使うのでしょうか？　よくわかりません、教えてください。

回答No.7

fushigichan · ベストアンサー

twinkle_lightさん、こんにちは。
大体回答は出ているようですが、

１．ベクトルＢＡとベクトルＣＤは等しいので、
　　ＢＡ＝（２，２、－６）ですから、
　　点Ｄの座標は、ＯＤ＝ＯＣ＋ＣＤ＝ＯＣ＋ＢＡより
　　ＯＣ＝（６，０，４）とＢＡ＝（２，２、－６）をたして
　　Ｄ（８，２、－２）と求めればよいと思います。

２．＃２さんと同じですが、３つの点を、
　　Ａ（－３，２、－１）Ｂ（２、－５，３）Ｃ（a,ｂ－５）とおくと
　　３点が一直線上にあるためには、
　　ＡＣ＝ｔＡＢ
　　となるような実数ｔが存在することである。
　　(a+3,b-2,-4)=t(5,-7,4)
　　よって、t=-1　でなければならない。これを代入して
　　a+3=-5,a=-8
　　b-2=7,b=9
　　よって、a=-8,b=9

３．先に普通の連立方程式と同じような感じで、ｘ、ｙをそれぞれa,bで表してみましょう。
　　3x+y=a ・・・・（１）
　　7x+3y=b　・・・（２）
　　（１）（２）より、x=(3a-b)/2,y=-2a+b
　　と表せますから、ここにそれぞれのベクトルの成分を代入すればｘ、ｙが求められます。

４．平面の法線ベクトルは、(a,2,-1)ですよね。
　　ここで、媒介変数ｔによって表された直線は
　　-x+1=(y+1)/5=(z-4)/7=t
　　と、ｔにそろえて表すことができます。
　　すると、この直線の方向ベクトルが（－１，５，７）であることが分かるので
　　内積をとれば、０になるはずですから、ここからa=3と求まります。
　　twinkle_lightさんは、多分この方法で解かれたのでしょう。
　　平面に平行な直線は、平面とは垂直な法線ベクトルとも垂直になりますから、
　　その性質を用いれば解けるので、やり方としても正解です。

ご参考になればうれしいです。

回答No.6

Largo_sp

３．は先に連立方程式をといて、
ｘ＝（3ａ-ｂ）/2
ｙ＝（3ｂ-8ａ）/2として成分の計算をしてもいいかな...

４．法線ベクトルってのは、平面に垂直なので、垂直な直線に垂直な直線は
平行ということを使ったんですよね....
この場合のベクトルは原点を考える必要がないのでひとつにきまります

回答No.5

ONEONE

ああ！！！
すいません。
いや～、誤った解答してすいませんでした。
確かにwatapenさんの言うとおりです。

ということは（８、２、－２）になるのかな？

回答No.4

watapen

他の人の解答に補足です。
１．で問題分に四角形ABCDとあるので
ありえる答えはひとつのはずです。

A→B→C→D→Aとサイクルするように描ける図形でなくてはいけません。

回答No.3

ONEONE

３番
ｘベクトルを（l,m,n),ｙベクトルを（p,q,r)とおいて
３ｘ＋ｙ＝ａ，７ｘ＋３ｙ＝ｂ　に代入

あとは成分どうしの連立方程式を解けばOK。のはず。

ちなみにベクトルの成分は縦書きにするとやりやすいと思います。ネット上じゃ横書きしかできないけどね。

回答No.2

ONEONE

合ってるかどうかわかりませんけどやり方はあってると思います。

１番。
まず適当に三角形ABCを図示します。（ABCの横にそれぞれ成分を書く。）
これに点Dをたして平行四辺形を作るには
（１）ABをはさんでCの反対側に１つ
（２）ACをはさんでBの反対側に１つ
（３）BCをはさんでAの反対側に１つ
の計三点あります。

簡単にいうと（１）の場合
平行四辺形ですから
（D成分）－（A成分）＝（B成分）－（C成分）
のような関係が成り立ちます。

（２）（３）も同様でできると思います。
ちなみに答えは（-4,8,4)(8,2,-2)(4,-2,10)になりました。

２番
Aベクトル＝（-3,-2,-1)
Bベクトル＝（2,-5,3)
Cベクトル＝(a,b,-5)

とすると、ABベクトル＝ｋ・ACベクトルとできます。（Kは定数）(一直線だから）
ABベクトル＝（B成分）－（A成分）＝(5,-7,4)
ACベクトル＝（C成分）－（A成分）＝(a+3,b-2,-4)
なので
成分同士で式を作る。
5=k(a+3),8=K(b-2),4=-4k
三つ目の式から　K=-1
あとは１つ目２つ目の式にいれれば
a＝－８、b＝９
となるはず。

１、２だけですが。

回答No.1

watapen

４．
空間と空間の平行を特徴つけるベクトルは無数に考えられますが、
法線はひとつであるからじゃないでしょうか？