行列のなすベクトル空間？

質問

2次元実行列のなすベクトル空間をM2とし
M2 = {A = [a11 a12, a21 a22] : aij ∈ R , (i,j =1,2)}
(Aは2*2行列です、Rはベクトル表記かもしれません)

以下の2*2行列
E1 =
| 1 1 |
| 0 0 |

E2=
| 0 0 |
| 1 1 |

E3=
| 1 0 |
| 0 1 |

E4=
| 0 1 |
| 1 1 |

がM2の基底であることを示したいのですが、行列を成分とするベクトル空間は参考書では見つけられませんでした。
ベクトルが成分であれば線形独立を示せばよいと思いますが、行列の場合はどうすればよいのでしょうか？

回答No.3

metzner · ベストアンサー

任意の２＊２の実行列 A = [a11,a12,a21,a22] が
A = a E_1 +b E_2 + c E_3 + d E_4
と実数a,b,c,dを使って書けることを具体的にまず示してください。
上式の右辺を具体的に計算することはできますよね。
これより
「a,b,c,dをa11,a12,a21,a22で表現」(*)
してください。
あとは
0 = a E_1 +b E_2 + c E_3 + d E_4
のとき、a=b=c=d=0 を本来いえばいいわけですが、これは(*)から
あきらかに分かると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
この方法で改めて考えてみます。

補足

実際にやってみたところ
a11 = a + c
a12 = a + d
a21 = b + d
a22 = b + c + d

a = a11 + a21 - a22
b = a11 - a12 + 2a21 - a22
c = -a21 + a22
d = -a11 + a12 - a21 + a22

となって、a,b,c,dは互いに線形独立だから
a=b=c=d=0 でなければ 0 = a E_1 +b E_2 + c E_3 + d E_4 が成り立たないので
a=b=c=d=0 となり、E1～E4は線形独立

・・・という風に考えたのですがどうでしょうか？

回答No.5

metzner

No3に補足です。

お書きになられた式のb,dは間違っていると思います。
あとa,b,c,dは実数でこれは一次独立ではありません。
あとはNo3に書いたとおりです。

お礼

勘違いしていました。
ご指摘ありがとうございます。

回答No.4

metzner

No3です。

任意のa11,a12,a21, a22に対して、a,b,c,dがお書きになられたようにきまり、
A = a E_1 + b E_2 +c E_3 +dE_4
となることが示されました。

あとはこの表記が一通りであることを示せばいいわけですが、それはA=0なら
、すなわちa11 = a12 = a21 =a22 =0 ならa=b=c=d=0を示せばいいわけです。
これは得られた式からすぐに分かると思います。

お礼

a E_1 + b E_2 +c E_3 +dE_4 = 0
のとき
A = 0、即ちその成分である a11 = a12 = a21 = a22 = 0　だから
その和である a～d も必ず
a = b = c = d = 0
となるから、E1～E4が線形独立となるわけですか。

ようやく理解できました。いろいろありがとうございました。
No3の回答をベストアンサーにさせて頂きました。

回答No.2

masudaya

数ベクトル空間において
成分の配置の仕方に決まりはないので,
[a11, a12, a21, a22]
という行ベクトルと考えればよいのではないでしょうか．
これなら簡単ですよね．

お礼

なるほど、行列をベクトルと考えてよいのなら線形独立の証明は簡単ですね。
回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「基底」の定義に戻って考えればいい.

補足

E1～E4が線形独立であり、M2の任意の行列がE1～E4の線形結合で表せれば良いわけですよね。
行列同士の線形独立の証明がわからないのですが・・・