線形変換について質問です

質問

三次元空間に右手系のxyz直交座標系をとってR^3と同一視し、第一成分、第二成分、第三成分をx座標、y座標、z座標の値とする。
長さ1のベクトルp=(p[1],p[2],p[3])'に対し、以下の行列をPとする。
P=[[0,-p[3],p[2]],[p[3],-0,-p[1]],[-p[2],p[1],0]]
さらに、θを定数として、以下の行列
(cosθ)E+(1-cosθ)pp'+(sinθ)P
から定まるR^3上の線形変換をTとする。このとき以下の問いに答えよ。

(1).任意のv∈R^3に対して、Pv=p×vとなることを示せ
(2).pはTの固有値1の固有ベクトルであることを示せ
(3).a×b=pとなるような互いに直行している長さ1の2つのベクトルa,b(∈R^3)に対して、{a,b,p}はR^3の基底となることを示せ
(4).(3)と同様の条件をみたしているa,bに対して、基底{a,b,p}に関するTの表現行列を求めよ
(5).以上のことを参考にしｔ、TはR^3上の線形変換としてどの様な変換であるかを答えよ

R^3ってのはRに縦線いれて3乗してるやつです。
(2)はT(p)=1・pを確認するだけなので理解できていますが、他の設問が解けません。
どなたか教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

Tacosan

う～ん.... 「成分計算する」に対して「v をどうとればいいのか」っていわれると, 「線形代数」という以前の問題のような気がしてしまうのはなぜだろう.
「任意の 3次元実ベクトル」を成分であらわす方法って, 事実上 1通りしかないんじゃないですかね. 「任意の実数」を表す方法は事実上 1通りしかないですよね.
(3) はそもそも a, b が直交する (×直行する) 長さ 1 のベクトルなら { a, b, a×b } が右手系の正規直交基底をなすのでほとんど自明なんだけど, #1 で指摘されてるようにこうしちゃうと (4) にはまったくつながらない. 長さ 1 かつ a×b = p となるように a, b を成分でおけばいいんだけど, 本当にこうすると後がうっとうしいはず (ただし計算そのものはできる). よく考えれば, a は任意のベクトルと置かないとしょうがないけど b は (ある程度) a に依存することに気づくはずです.

回答No.1

rabbit_cat

基本的な問題なので実際のところ説明しようがないです。

(1) 成分計算するだけ
(2) Tp = p を確認すばよい
(3) いろいろあるとは思いますが、前の設問や(4)を考えると、
a, b を実際に成分ごとに求めろってことかな。成分が求まったら、rank([a b p])を計算するなりすればいいでしょう。
(4) (3)でa,bの成分表示を求めているなら、基底変換の公式に代入するだけ
(5) 違ってるかもしれないけど、多分、pを中心軸とした角度θの回転か

補足

すいません、それだけじゃ分からないです。

(1)vをどうとればいいのか
(3)a,bを成分ごとに求める方法
あたりを詳しくお願いします。