線形の証明問題を教えてください

質問

線形代数の証明問題を教えてください

１、m×n行列全体のつくるベクトルの空間Vにおいて、（i.j)成分が１で他の成分がすべて０であるm×n行列をEijとすると、
Eij(i=1,2・・・、m ;j=1,2・・・n)はVの基底である事を示せ。

２、Vを有限次元ベクトル空間、U、WをVの部分空間とするとき
dim(U+W)+dim(U∩W)=dimU+dimW
であることを示せ。
（dim(U∩W)=r ,dimU=s ,dimW=tとする。a1,・・・,arをU∩Wの基底とし、これを拡張して得られるUの基底を
a1,・・・,ar, b1・・・,bs-r, Wの基底をa1,・・・,ar ,c1・・・,ct-rとする。 a1,・・・,ar, b1・・・,bs-r, c1・・・,ct-r
がU+Wの基底になることを示す。）

この２問がどうしても証明できません。どちらでもいいので分かる方解答をお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

こ～いうときは「自分はこうやったんだけどどうでしょう」って書くのが筋ってもんだと思う.
1. 任意の A=(aij) ∈ R^m×n = V は A = Σ aij Eij と書くことができる. 従って {Eij} は V を張る.
一方 Σ aij Eij = O で aij ≠ 0 とすると Eij = Σ((s, t) ≠ (i, j)) [-ast/aij]Est となるが, 両辺の (i, j) 成分を見ると左辺は 1, 右辺は 0 なので矛盾. つまり aij は全て 0 なので Eij は独立.
よって {Eij} は V の基底.
2. ヒントからちょっと記号を変えて...
dim(U∩W) = r, dim U = p+r, dim W = q+r とする. U∩W の基底を 1つ固定し B(U∩W) = { z1, z2, ..., zr }, これを拡張して得られる U, W の基底をそれぞれ B(U) = { z1, z2, ..., zr, x1, ..., xp }, B(W) = { z1, z2, ..., zr, y1, ..., yq } とおく.
定義から, 任意の v ∈ U∪W は v = u+w, u ∈ U, w ∈ W と書くことができる. B(U), B(W) がそれぞれ U, W の基底であることから
u = c1z1 + ... + crzr + a1x1 + ... + apxp,
w = d1z1 + ... + drzr + b1y1 + ... + bqyq
と書け,
v = u+w = (c1+d1)z1 + ... + (cr+dr)zr + a1x1 + ... + apxp + b1y1 + ... bqyq
となる. 従って S = { z1, z2, ..., zr, x1, ..., xp, y1, ..., yq } は U+W を張る.
次に S が一次独立であることを示すため
c1z1 + ... + crzr + a1x1 + ... + apxp + b1y1 + ... + bqyq = 0
とおく. これは
c1z1 + ... + crzr + a1x1 + ... + apxp = -b1y1 - ... - bqyq
と書け, これを x とおく. 左辺は B(U) のベクトルの線形結合なので x ∈ U. また右辺は B(W) のベクトルの線形結合なので x ∈ W. つまり x ∈ U∩W なので, U∩W の基底 B(U∩W) を使って
x = d1z1 + ... + drzr
と書ける. これから
d1z1 + ... + drzr + b1y1 + ... + bqyq = 0 より B(W) の独立性から d1 = ... = dr = b1 = ... = bq = 0, これは x = 0 を意味し, 従って
c1z1 + ... + crzr + a1x1 + ... + apxp = x = 0 から (B(U) は独立なので) c1 = ... = cr = a1 = ... = ap = 0 となる.
つまり
c1z1 + ... + crzr + a1x1 + ... + apxp + b1y1 + ... + bqyq = 0
から
c1 = ... = cr = a1 = ... = ap = b1 = ... = bq = 0
がいえるので S は一次独立である.
よって S は U+W の基底であり, dim(U+W) = p+q+r = dim U + dim W - dim(U∩W).

お礼

すいません、こういった質問は初めてなのでご迷惑をおかけしました。
ですが、非常に参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

どこがわからないのかがわからないので, どう説明したものか....
1 は「基底」の定義がわかっていればそれに素直に従うだけだし, 2 もそこにヒントが書いてあるからそれに従うだけのような気がする.
これでわからないというなら, 「どこがわからないのか」をちゃんと書いてください.

補足

自分の解答はある程度できているんですが、これが提出用問題なので、
はっきりとした模範解答が欲しいです。なにぶん証明問題なので解が省略されていたもので・・・。