4次元空間上での平面の式
任意の点を(x,y,z,u)とした4次元空間で
(1)3次元の立体を表す式は
ax+by+cz+du=e
でいいですか?
(2)2次元の平面を表す式は一般にどのような形になりますか?
上記のことに疑問を持った理由。
2次元空間で1次元の直線を表す式は、一般にax+by=cとなる。
これは、2点(x,y),(xo,yo)を通り、方向ベクトルが(a',b')で媒介変数tとして
x=a't+xo
y=b't+yo
と書くこともできる。
3次元空間で2次元の平面を表す式は、一般にax+by+cz=d
となる。
これは、
平面上の2点(x,y,z)と(xo,yo,zo)を結ぶベクトルとこの平面に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c)の内積が0であるという条件より導かれる。
実際に計算すると
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0
ax+by+cz=axo+byo+czo
になり、ax+by+cz=dという形と同値であることが確認できる。
【別な考え】
3次元空間内の平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を
P(xo,yo,zo)、Q(x1,y1,z1)、R(x2,y2,z2)
とする。この平面上の任意の点X(x,y,z)は、媒介変数t,sを使って
OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑
と書ける。
成分表示にするために
OP↑=(xo,yo,zo)
PQ↑=(a,b,c)
PR↑=(a',b'c')
と方向ベクトルを定義すると、
x=xo+at+a's......(1)
y=yo+bt+b's......(2)
z=zo+ct+c's......(3)
という書き方も平面を表す式である。
実際に(1)と(2)から未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式に代入すれば、(1)(2)(3)式は、一つの式
a"x+b"y+c"z=d'という形になる。
直線を表す式は、媒介変数tを使って
x=at+xo
y=bt+yo
z=ct+zo
または、
(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=t
となる。
4次元空間で同じように、
直線や平面や立体を考えてみた。
2次元では、(1,0)と(0,1)が直交の基底ベクトル。
3次元では、(1,0,0)と(0,1,0)と(0,0,1)が直交の基底ベクトル。
したがって、
4次元では、(1,0,0,0)と(0,1,0,0)と(0,0,1,0)と(0,0,0,1)が直交の基底ベクトル。
4次元空間では、点は4つの成分で表される。
4次元空間での直線について。
直線は2点が与えられば書ける。
2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を通り、その直線の方向ベクトルが(a,b,c,d)だとしたら、媒介変数tを使って、
x=at+xo
y=bt+yo
z=ct+zo
u=dt+uo
となって
(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=(u-uo)/d=t
次に4次元空間での３次元立体について。
２次元空間では、それより一つ次数が低い1次元の直線は一つの式
ax+by=c
で与えられた。
3次元空間では、それより一つ次数の低い２次元の平面は、一つ式
ax+by+cz=d
で表さられた。
したがって、4次元空間では、それより一つ次数の低い3次元の立体は、
ax+by+cz+du=e
で表されるだろう。
【別な考え】
4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する立体は一つしかない。なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで空間(立体)は3つの基底ベクトルで決定されて、残り一つが残っているからだ。
立体上の2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を結ぶベクトルとこの立体に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c,d)の内積が0であるという条件で計算すると
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)+d(u-uo)=
0
ax+by+cz+du=axo+byo+czo+duo
になり、ax+by+cz+du=eという形になる。
2次元の平面はどうだろうか？
(ここからが本題)
4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する平面は、２つあるはずだ。
なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで平面は2つの基底ベクトルで決定されて、残り2つが残っていて、それはこの平面に直交するように選べるからだ。
平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を
P(xo,yo,zo,uo)、Q(x1,y1,z1,u1)、R(x2,y2,z2,u2)、
とする。この平面上の任意の点X(x,y,z,u)は、媒介変数t,sを使って
OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑
と書ける。
成分表示にするために
OP↑=(xo,yo,zo,uo)
PQ↑=(a,b,c,d)
PR↑=(a',b',c',d')
と方向ベクトルを定義すると、
x=xo+at+a's......(1)
y=yo+bt+b's......(2)
z=zo+ct+c's......(3)
u=uo+dt+d's.....(4)
という書き方も平面を表す式である。
(1)と(2)を連立して、未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式と(4)式代入すれば、(1)(2)(3)(4)式は、２つの式
a"x+b"y+c"z+d"u=e'
a"'x+b"'y+c"'z+d"'u=e"
になる。
この２つの式からuを消去すれば、結局、
Ax+By+Cz=D
という形になる。
zを消去すれば、
Ax+By+Cu=D
yを消去すれば、
Ax+Bu+Cz=D
xを消去すれば、
Au+By+Cz=D
お礼
まことにありがとうございます。 行列が一つ与えられたとき、その値が 0 でないような小行列式の最大サイズは行列の階数に一致することを利用すればいいのですね。 rankA=4のとき、 |A|≠0 これは、|A|^2＞0と同値でもありますね。 rankA=3のとき、 Aの３次小行列式の中に０でないものがある、かつ、|A|=0 ここで、０でないものがあるということは、それぞれを２乗したものの和が正と同値でもありますね。 rankA=2のとき、 Aの２次小行列式の中に０でないものがある、かつ、３次小行列式がすべて０、かつ、|A|=0 ここで、３次小行列式がすべて０だったら、余因子展開により自動的に、|A|=0は満たされますね。 ここで、すべて０ということは、それぞれを２乗したものの和が０と同値でもありますね。 rankA=1のとき、 Aの１次小行列式の中に０でないものがある、かつ、２次小行列式、３次小行列式が０、かつ|A|=０ ここで、２次小行列式がすべて０だったら、余因子展開により自動的に、すべての３次小行列式が０、かつ、|A|=0は満たされますね。 ついでに、rankA=0のとき、 Aの１次小行列式がすべて０ 本当にありがとうございました。