線形代数の問題です。

質問

３次元実ベクトル空間R^3において，平面P：x-y-z+1=0と直線L:2(x-1)=-y=-zを考える．
(1)平面を張る二つの線形独立(一次独立)なベクトルa1,a2,直線を張るベクトルa3を求めよ．
(2)任意の点を直線Lと平行に平面P上へ射影する線形変換を表す行列Aを求めよ．
(3)任意の点を平面Pと平行に直線L上へ射影する線形変換を表す行列Bを求めよ．

というような問題です。
(1）は直線はわかるのですが、平面の方は法線ベクトルしか求められません。
(2)と(3)は考え方だけでも教えていただければと思います。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)
法線ベクトルと垂直なベクトルを二つ、勘で見つけてしまうのが一番なんですが…
x - y - z = 0 を満たす x, y, z を、何か思いつきませんかね？
機械的にやりたければ、法線ベクトル n と、n のスカラー倍ではないベクトル
v を一つ持ってきて、外積を使って、v×n, v×n×n を a1, a2 にすればよい。

(2)
(x, y, z) + u a3 が P 上にあるようなスカラー u を x, y, z の式で表せば、
(x, y, z) の A による像が成分表示できます。すると、A が判りますね？
P の式へ代入して、一次方程式を u について解くだけです。

(3)
(x, y, z) + v a1 + w a2 が L 上にあるようなスカラー v, w を x, y, z の式で表せば、
(x, y, z) の B による像が成分表示できます。すると、B が判りますね？
L の式へ代入して、連立一次方程式を v, w について解くだけです。

お礼

ありがとうございました。