線形代数の問題です

質問

線形代数の問題です。
いろいろ考えましたがわからないので教えて下さい。

ベクトルa1,a2,a3が次のように与えられている。ここで、記号tは転置記号であり、a1tは行ベクトルになる。
a1=(1 0 1),a2=(1 1 -1),a3=(-1 2 1)（縦に並べてある）
A=a1a1t+(1/3)a2a2t-(1/6)a3a3t

1)行列Aの行列式の値と逆行列を求めよ
2)行列Aの固有値とそれに対応する固有ベクトルを求めよ
3)部分空間{x|x=t1a1+t2a2,t1,t2∈R}内の点xの関数(x-a3)tA(x-a3)の最小値とその最小点を求めよ。

自分の回答
1)行列A=(1/6)
[7,4,5]
[4,-2,-4]
[5,-4,7]
行列式の値はー2
逆行列は掃き出し法で求め、
5/72 8/72 1/72
21/144 29/532 -8/72
-1/72 -22/216 5/72

2)
固有値は2,±1
λ=1の時固有ベクトルはk1(1　-1　-1)　(縦ベクトル）
λ=-1の時固有ベクトルはk2(1　-2　-1)　(縦ベクトル）
λ=2の時固有ベクトルはk3(1　0　1)　(縦ベクトル）

3)はどうすればよいかわかりません。
3)だけでも良いので詳しい方解答・解説をおねがいします。
自分の求めた値は逆行列以外は切れの良い値になっているのでおそらくあっているのではと…

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

1)
>行列A=(1/6)
>[7,4,5]
>[4,-2,-4]
>[5,-4,7]
>行列式の値は-2
ここまで合ってる。

>逆行列は掃き出し法で求め…
間違い。
Aの逆行列=
[5, 8, 1]
[8,-4,-8]/12
[1,-8, 5]

2)
>固有値は2,±1
>λ=-1の時固有ベクトルはk2(1　-2　-1)　(縦ベクトル）
>λ=2の時固有ベクトルはk3(1　0　1)　(縦ベクトル）
ここまで合っている

>λ=1の時固有ベクトルはk1(1　-1　-1)　(縦ベクトル）
間違い。
正解は k1(1 1 -1)t

なお、k1,k2,k3は省略可能。

3)
x=t1*a1+t2*a2=
[t1+t2]
[ t2 ]
[t1-t2]

x-a3=
[t1+t2+1]
[ t2-2 ]
[t1-t2-1]

(x-a3)tA(x-a3)=4t1^2+3t2^2-6≧-6
より

最小点(t1,t2)=(0,0)
最小値=-6

お礼

計算量の多い問題をわざわざ解いて下さりありがとうございます。

3はガンガン計算でしょうか？
簡単に行く方法があるのでしょうか？

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2の補足の回答

>3はガンガン計算でしょうか？
>簡単に行く方法があるのでしょうか？

与えられたa1,a2,a3と1)で求めたAを与えられた計算式に代入して、ただ機械的に行列と行列式の計算をするだけです。やってみれば意外と計算は簡単です。

お礼

了解しました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

見た感じ 2 は間違ってる. a1, a2, a3 の間の関係を考えてみてください.

そしてそれがわかれば 3 は簡単.

お礼

ありがとうございます。

3は計算でガンガン行くより簡単な方法があるのでしょうか？