部分空間

質問

線型代数でわからないところがあったの、どなたか教えて頂けると有難いです。大学生です（理系）

定理*を利用して、２×２行列全体の作る線型空間Ｍの部分空間となるものはどれか？

(1)
a b
c d
という形の行列全体。ただし、a,b,c,dは整数とする。

(2)
a b
c d
という形の行列全体。ただし、a+d=0とする。

(3)A=Atrとなる２×２行列全体。（Atr:行列Aの転置行列）

(4)正方行列Ａの行列式det(A)=0となる2×2行列全体。

定理*
線形空間Ｖの空でない部分修吾Ｗが部分空間となるための必要十分条件は、
・ベクトルu,vがＷのベクトルなら、u+vもＷのベクトル
・uがＷのベクトル、kがスカラーなら、kuもＷのベクトル
である。

答えは2,3らしいのですが、なぜだかよくわかりません。
1はスカラーに関して閉じていないから×なのかな…と思うのですが、他はよくわからないです。

回答No.1

echoes_x86 · ベストアンサー

こんにちは．

(1)は和について閉じていますが，
kに実数を選択した場合は，スカラー倍に関して閉じていません．

(4)は非零のkについてdet(A)=0なら
det(kA) = k*det(A) =0
ですから，スカラー倍については閉じていますが，和に関して閉じていません．
例えば，
[1 0]
[0 0]
という行列Aと
[0 0]
[0 1]
という行列Bは双方共に行列式が零ですが，
その和の行列(A+B)の行列式は零ではありません．

(2)は行列A
[a b]
[c d]
に関して，kAの対角和は(ka + kd) = k*(a + d)ですから，
a + d = 0ならば，kAの対角和も零です．
さらに行列A'
[a' b']
[c' d']
を考え，(A + A')の対角和に注目すると
(a + a' + d + d')ですから，a + d = a' + d' = 0ならば，
これも零です．よって，部分空間を構成します．

(3)は対称行列に関してですが，
2*2行列に限定すれば，非対角要素に関してb - c = 0なる条件を課すことに対応しますから，
(3)と同じ議論で部分空間を構成することが確認できます．
A = A^T，B = B^T に関して(^Tは転置演算)
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B = (A+B)
としても良いでしょう．スカラー倍も同様です．

お礼

こんなにも早く回答してくださってありがとうございました。
大変よくわかりました！！助かりました！！
ありがとうございました。