不等式の証明（既出 問題訂正）

質問

a>0,b>0,c>0,abc=8のとき、次の不等式を示せ。

a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3を

a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}+b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>=4/3に訂正します。

考えたこと。
(1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、
　abc=8から、いくらでもa,b,cの値は大きくなるので、うまくいかないと思いました。
(2)左辺の第一項a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}をa^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}>=4△/3(△+○+☆)の形にできないか。第二項、第三項も同様にして、３つの式を加えて
左辺>=4(△+○+☆)/3(△+○＋☆)=4/3。とできないかと考えたが、挫折。

よろしく、アドバイスお願いします。

回答No.9

hrsmmhr · ベストアンサー

難しいです…

まず9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)ですが
質問者の考えが正しいと思います。#7さんが言われているように相加相乗平均の押さえ方がきつくて
相乗の項の関数が等号条件で最大になって接しているので、数学の勘がどうしても符号が逆にならなくては
いけないように思えてしまいました。

頭を切り替えて回答方針（答えは出ていません）を考えましたので、方針だけですがご参考にしてください

まず次の式変形ができます。
A=√(1+a^3),B=√(1+b^3),C=√(1+c^3),a>=b>=cとして
3(a^2C+b^2A+c^2B)^2-4(ABC)^2
=3(a^4C^2+b^4A^2+c^4B^2+2a^2b^2AC+2a^2c^2BC+2b^2c^2AB)-4(ABC)^2
=3(a(A^2-1)C^2+b(B^2-1)A^2+c(C^2-1)B^2+1/4(a^3b^3cAC+a^3c^3bBC+ab^3c^3AB)-4(ABC)^2
=3(a(A^2-1)C^2+b(B^2-1)A^2+c(C^2-1)B^2+1/4(c(A^2-1)(B^2-1)AC+b(A^2-1)(C^2-1)BC+a(B^2-1)(C^2-1)AB)-4(ABC)^2
=3(a(A^2-1)(C^2-1)+b(B^2-1)(A^2-1)+c(C^2-1)(B^2-1)+a(A^2-1)+b(B^2-1)+c(C^2-1)+1/4(c(A^2-1)(B^2-1)AC+b(A^2-1)(C^2-1)BC+a(B^2-1)(C^2-1)AB)-4(ABC)^2
相加相乗平均で
>=9(abc)^(1/3){(A^2-1)(B^2-1)(C^2-1)}^(2/3)+9(abc)^(1/3){(A^2-1)(B^2-1)(C^2-1)}^(1/3)+9/4(abc)^(1/3){(A^2-1)(B^2-1)(C^2-1)}^(2/3)(ABC)^(2/3)-4(ABC)^2
=9*2*64+9*2*8+9/4*2*64(ABC)^(2/3)-4(ABC)^2
=81*16+9*32(ABC)^(2/3)-4(ABC)^2

ここで(ABC)^(2/3)=Xとして
=4(81*4+9*8X-X^3)が計算でき
X=2√6で最大値をとりますのでabc=8の制約でX={(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}^(1/3)の範囲を考えます
a<24^(1/3)のときb最大、ｃ最小でXが最大になります。
X<{2*25^2}^(1/3)=1250^(1/3)<1331^(1/3)=11
X=11のとき
81*4+9*8X-X^3=729+792-1331>0
となるのでa=<24^(1/3)では不等式は成り立ちます。

a>24^(1/3)のときですが、泥臭い計算で潰す事にしようかと思って

1/(ABC)(a^2C+b^2A+c^2B)…★

a>=24^(1/3)>2√2,c<=(7/9)^(1/3)のとき
C<=4/3なので
★=a^2/(AB)+b^2/(BC)+c^2/(CA)>a^2/(AB)+3b^2/(4B)
f(a,b)=a^2/(AB)+3b^2/(4B)として
∂f/∂a=(2aA-a^2A')/(A^2B)=(2a+a^4/2)/(A^3B)>0(a>0から)
最小値はa=24^(1/3)
f(24^(1/3),b)=8/(5B)+3b^2/(4B)
∂f(24^(1/3),b)/∂b=1/20(30b+30b^4-45/2b^4-12b^2)/B^3=b/40(15b^3-24b+60)/B^3
15b^3-24b+60は極値が√(8/15)で極小になるので
f(24^(1/3),√(8/15))=(8/5+2/5)/1.17..=1.69....>4/3

ここまででA>5,C>4/3に条件が狭められます
改めてc=<2はabc=8で最小であるからいえるので
★>a^2/(AB)+b^2/(3B)+c^2/(6C)
aの変微分で単調増加でa=24^(1/3)のとき
★>=24^(2/3)/(5B)+b^2/(3B)+c^2/(6C)
bの変微分で1/3{2b+2b^4-3/2b^4-9/5(24)^(2/3)b^2)/B^3=1/6{b^4-18/5(24)^(2/3)b^2+4b}/B^3
極値はb=(6/5)^(1/2)(24)^(1/3)=7.73…>8/{24^(1/3)(7/9)^(1/3)}
よって最小値はb=8/{24^(1/3)(7/9)^(1/3)}のとき
[24^(2/3)/5+8^2/{24^(1/3)(7/9)^(1/3)}^2*(1/3)]/√{9*8^3/(24*7)+1}+c^2/(6C)=0.88+c^2(6C)
…（涙）

です
なので最後のa>=24^(1/3)>2√2,c>=(7/9)^(1/3)が解けたらと思ってます
ご参考まで

お礼

回答ありがとうございます
偏微分とかあまりよくわからないので・・・
ただ、グラフで考えるのも１つの手だとはこれ以外の問題でも
有効な方法だと思います。
貴重な時間を使って考えてもらいありがとうございます。

回答No.8

alice_44

貴方の方針どおり、３項目の相加相乗平均の関係を使うと、
与式左辺 ≧ 3[ (8^2)/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} ]^(1/3) が言えるので、
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) ≧ 9^3 を示すことができれば、与式が従います。

質問文中の(1)とは不等号の向きが逆で、A No.2の(2)と同じ式ですね。
(8^2)/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} の分母に (1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) がある
ことに注目して、考え直してみましょう。
そこが理解できれば、a, b, c の値はいくら大きくなってもよいことになる
ので、貴方が詰った箇所は解決です。

以上終了。後は再度御自分で…　では、いかにもナニなので、
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) ≧ 9^3　←(*) についても考えてみます。

(*)左辺 = 1 + a^3 + b^3 + c^3 + (b^3)(c^3) + (c^3)(a^3) + (a^3)(b^3) + (a^3)(b^3)(c^3)
　　　　= 1 + a^3 + b^3 + c^3 + (8/a)^3 + (8/b)^3 + (8/c)^3 + 8^3
と展開されますが、

a^3 + (8/a)^3 = a^3 + 8(4/a)^3 の右辺に９項目の相加相乗平均の関係を使って
a^3 + 8(4/a)^3 ≧ 9{ (a^3)(4^3/a^3)^8 }^(1/9) = 9{4^(8/3)}/{a^(7/3)} であり、
b, c についても同様ですから、結局
(*)左辺 ≧ 1 + 8^3 + 9{4^(8/3)}[ 1/a^(7/3) + 1/b^(7/3) + 1/c^(7/3) ]
となります。

この式の [ ] 内に再度３項目の相加相乗平均の関係を使って、
1/a^(7/3) + 1/b^(7/3) + 1/c^(7/3) ≧ 3{ 1/8^(7/3) }^(1/3) = 3/{2^(7/3)}
となりますから、

以上をまとめると、
(*)左辺 ≧ 1 + 8^3 + 9{4^(8/3)}・3/{2^(7/3)} = 729 = 9^3 となって完了です。

最終的な等号成立条件は、
(a^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} = (b^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} = (c^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)},
a^3 = 4/a^3, b^3 = 4/b^3, c^3 = 4/c^3, 1/a^(7/3) = 1/b^(7/3) = 1/c^(7/3)
ですから、これを満たす a, b, c は在って、a = b = c = 2 です。

９項目の相加相乗平均を使うところが、技巧的になってしまいますが、
等号成立条件の最終的な形を考えて、あのようにしているのです。

偏微分を使うことができれば、もう少し見通しのよい解法があります。

お礼

回答ありがとうございます
早速、じっくりと自分なりに確かめたいと思います

回答No.7

FT56F001

回答者さんたち，混乱しているようです。

残念ながら，
相乗平均・相加平均を使う証明は成り立ちません。

a=0.5, b=0.5, c=32とするとabc=8を満たします。
目的不等式
a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}+b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>=4/3
左辺の和となる各項は，0.222，1.302E-3，5.333になります。
この和は5.557は4/3より大きく，目的不等式は成立しています。
しかし，この相乗平均は0.1155となり4/3より小さくなってしまいます。

すなわち，相乗平均の値は，下限として甘すぎます。

相乗平均が4/3より小さいことを証明しても，目的不等式は証明されません。
目的不等式左辺 ≧ 相乗平均
4/3 ≧ 相乗平均
から，どうして目的不等式左辺≧4/3が言えるのですか???

式の変形により目的不等式左辺より小さい「評価式」を作る。
この「評価式」が4/3より「大きい」ことを示す。
すなわち，
目的式左辺 ≧ 評価式
評価式≧4/3
を示して，はじめて目的の不等式が証明されます。

112233445 さんの不等式の問題は難しく，
私はまだ評価式を見つけることができません(涙)

お礼

回答ありがとうございます
分母と分子が相加相乗平均を使ったときにそれぞれ別々になってしまうと
どうもうまくいかないような気がしました。
項の組み合わせ方が、問題なのか。

回答No.6

info22_

#5です。

A#5の補足について

>{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)=<9となることは、どう示せばいいのかと思いました。
これは間違いなので成立しない。

>{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)>=9 なのかもしれない。(等号はa=b=c=2)
こちらが正しい。以下に証明を示す。

{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}=1+(abc)^3+(a^3+b^3+c^3)+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3
相加相乗平均の関係を使うと
　≧1+8^3 +3(a^3・b^3・c^3)^(1/3) +3((ab)^3・(bc)^3・(ca)^3)^(1/3)　
（等号は a^3=b^3=c^3,(ab)^3=(bc)^3=(ca)^3の時成立)
a>0,b>0,c>0,abc=8なので等号成立条件は a=b=c=2となります。
　=1+512+3abc+3(abc)^2 = 513+24+3*64 = 729

両辺正なので3乗根をとって
　{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)≧729^(1/3) = 9 (等号はa=b=c=2のとき)

回答No.5

info22_

前の質問投稿
http://okwave.jp/qa/q6945871.html
を引用のこと。

前の質問に「訂正後」の問題の回答をしておきました。
相加平均・相乗平均の関係を使って解けますが、
等号条件とabc=8,a>0,b>0,c>0の条件から、a=b=c=2を導き出せますが、
手計算で連立方程式を解くことは殆ど困難でしょう。

解く事が非常に困難なので、僕は数式処理ソフトを使って連立方程式を解いて
、問題の条件を満たす解がただ1組であり、それが(a,b,c)=(2,2,2)であることを確認しました。
これが出て来れば、後はすんなりと証明が終わります。
証明は、前の投稿の方に回答しておきましたのでご覧下さい。

お礼

回答ありがとうございます
ご指摘の通り投稿する際は問題に誤りがないか、注意したいと思います。
{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)=<9となることは、どう示せばいいのかと思いました。
{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)>=9 なのかもしれない。(等号はa=b=c=2)

回答No.4

mister_moonlight

＞a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値がはっきりしないので、うまくいかないのかと思いました。

不等式の意味が分かってないんだな。
それなら、このレベルの問題は君には無理だ。自分のレベルに合った、もつと易しい問題をやってたら良い。

後は、自分で考えろ。

回答No.3

mister_moonlight

＞(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値が、(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値よりも、小さいときがあるとおもうのであるが・

それなら、この不等式は常には成立しない事になる。
この不等式は、常に成立するから　それを証明するんじやないの？
つまり、この不等式で　(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値は、(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値よりも大きい、or、等しい から　常に成立するんじゃないの？

お礼

回答ありがとうございます
確かに(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値が、(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値よりも大きいか、または、等しいことが言えればよいと思いました。(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値はいいとして、(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値がはっきりしないので、うまくいかないのかと思いました。

回答No.2

mister_moonlight

昨日はドジったが、今日はどうか。又も、ドジるか？。。。。。。。ｗ

簡単のために、√(1+a^3)＝x、√(1+b^3)＝y、√(1+c^3)＝z x＞0、y＞0、z＞0とする。
つまり、(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)≧4/3　‥‥(1)　を示すと良い。

(xyz)＾2＝513＋(a＾3＋b＾3＋c＾3)＋(a＾3*b＾3＋b＾3*c＾3＋c＾3*a＾3)だから、
相加平均・相乗平均　と　abc=8から　a＾3＋b＾3＋c＾3≧24、a＾3*b＾3＋b＾3*c＾3＋c＾3*a＾3≧192　より　(xyz)＾2≧(27)＾2　→　xyz≧27　‥‥(2)
相加平均・相乗平均から　(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)≧(12)/(xyz)＾(2/3)‥‥(3)
(3)において、(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)　が　(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値より大きければ良い。
(2)より、1/(xyz)≦1/27　だから、(12)/(xyz)＾(2/3)≦4/3
以上より、(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)≧4/3　等号成立は？

お礼

回答ありがとうございます
「(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)　が　(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値より大きければ良い。」の部分で、(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値が、(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値よりも、小さいときがあるとおもうのであるが・・・・。

回答No.1

edomin7777

で、

http://okwave.jp/qa/q6945871.html

は、放置したままかい…。