不等式の証明

質問

a,b,c,dはabcd=1,を満たす正の実数のとき、
(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)>=25/4 を示せ。

試したのは、(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)に対して相加相乗平均を使って、４以上
ただし、9/(a+b+c+d)の処理がうまくいかない。
a+b=x,c+d=yとおいて、相加相乗をもちいると
(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)=(a+b)/ab+(c+d)/cd+9/(a+b+c+d)
>=4/x+4/y+9/(x+y) これが25/4以上を示せばよいと思ったが、進まず。
コーシーシュワルツを使って、何かできないかとも考えてみたが、何を目標に
変形を考えて良いのか、・・・・
いずれにしても、 9/(a+b+c+d)をどう考えるかが、ポイントになるのでないかと
思うのであるが、・・・
アドバイスをお願いします。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

やっぱ伝家の宝刀であるラグランジュの未定乗数法でやるに限りますな
いっぱつでa=b=c=d=1がでてしまいまっせ
あなたが補足しているようにこのばやい相加平均なんたらは使いものになりませんぜ
不等式は確かに成立しているがその時に左辺が最小になっている保証はないかんね
不等式の関係を保ったまま大きくなったり小さいくなったりしていて
等号が成立している時にジャスピンで最小になっていると考えるのは無茶ですな
ちなみにわてはラグランジュ使いまくりでっせ

お礼

回答ありがとうございます
ラグランジュの未定乗数法に慣れていないので
どんな解答になるのか、見せてもらえると有り難いです
a=b=c=d=1で、最小値になると言えるかについても。

回答No.10

reiman

境界がないという言い方は厳密には正しくなくて
0<a & 0<b & 0<c & 0<dによる境界はあるが
その条件を満たす領域はその境界を含まない
というべきでした
境界を含まない以上境界に関する記述は必要なく
ことは簡単であるということには変わりが有りません

回答No.9

reiman

0<a,0<b,0<c,0<dの条件による境界は存在しないので
境界云々の部分は必要有りませんでした
従って単純に極値点候補が1つしかなく下に有界であることから直ちにその候補は最小値点ということになり話はもっと簡単でした

回答No.8

reiman

ラグランジュの未定乗数法の証明の眼目は
vをn次元行ベクトルとして
Vをm行n列の行列として
xをn次元列ベクトルとしたとき
V*x=0である任意のxにてv*x=0となるならば
vはVの行ベクトルの線形一次結合で表される

回答No.7

reiman

＞そのグラフの境界はどうなるのか。
ここでいう境界とは人為的に付けた条件a,b,c,dはそれぞれすべて正であるということに起因する範囲の境目
a=0 or b=0 or c=0 or d=0
のときです

＞lim[d→+0]f(a,b,c,d)→∞、であるから境界はf(a,b,c,d)の最小値点になりえない。で、境界に最小値がなくて、どこに最小値が存在することになるのか。
境界に接近するにつれていくらでも大きくなるということは境界は最小値になりえないというのはあたりまえではないですか
しかもf(a,b,c,d)は正であるから境界以外に最小値が存在することも明かです
ラグランジュが言っているのは極値点が有るとしたらラグランジュの未定乗数法により求まる点に限るということですからその最小値点が極値点でないということは最小値の定義上ありえないので
与えられたa,b,c,dはそれぞれすべて正であるという条件を満たす唯一の極値候補であるa=b=c=d=1は
極値点でないということは言えずに極値点にならざるをえない
そしてその極値点が最小値点なのである
今回は一個の極値候補しかなかったが
もし複数の極値候補が有った場合はそのすべて点でもっともf(a,b,c,d)が小さい点は
極値とならざるを得ずその点が最小値点になる
最小値が存在する以上極値点が存在することになり
ラグランジュは極値点の候補をすべて網羅しているから

＞どうして、未定乗数を使うと極値が求められるのか
高木退治の「解析概論」でもどっかのサイトでも載っていますから勉強してください

＞極値にならないものをどうやって判断すればいいのか
通常、ラグランジュで求まるすべての点が極値であるかどうかを求める必要は有りません
今回は最小値があればそれらの点の中にすべての最小点が必ずあるということを使っただけです
今回は候補が１つだったのでそれが極値点でないということはいえないということです

お礼

質問に対し、回答頂きありがとうございます
回答を頂き、改めて自分でよく理解していないまま質問すると
回答者に申し訳ないと思いました。
どうしてか、なぜかという疑問が出てき、すぐに知りたいと思うのですが、
自分のレベルがそこまで達していない状態では、折角の回答内容を十分こなす
ことができないと思いました。
もう一度、自分なりに考えてたいと思います。

回答No.6

reiman

書き間違い有り
F(a,b,c,d)=f(x)-s*(a*b*c*d-1)→F(a,b,c,d,s)=f(a,b,c,d)-s*(a*b*c*d-1)

f(a,b,c,d)=(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)
F(a,b,c,d,s)=f(a,b,c,d)-s*(a*b*c*d-1)
とすると
境界以外においてf(a,b,c,d)が極値を持つときには次の条件が成立する
∂F/∂a=∂F/∂b=∂F/∂c=∂F/∂d=∂F/∂s=0・・・（１）
（１）の条件は
a*b*c*d=1・・・（２）
1/a+9*a/(a+b+c+d)^2=-s・・・（３）
1/b+9*b/(a+b+c+d)^2=-s・・・（４）
1/c+9*c/(a+b+c+d)^2=-s・・・（５）
1/d+9*d/(a+b+c+d)^2=-s・・・（６）
(3),(4),(5),(6)より
(a-b)((a+b+c+d)^2-9*a*b)=0・・・（７）
(b-c)((a+b+c+d)^2-9*b*c)=0・・・（８）
(c-d)((a+b+c+d)^2-9*c*d)=0・・・（９）
(d-a)((a+b+c+d)^2-9*d*a)=0・・・（１０）
(a-c)((a+b+c+d)^2-9*a*c)=0・・・（１１）
(b-d)((a+b+c+d)^2-9*b*d)=0・・・（１２）
もしa,b,c,dがすべて異なるとすると
(a+b+c+c)^2/9=a*b=b*c=c*d=d*a
となるがこれによりa=b=c=dとなるので矛盾する
よって少なくとも互いに等しいものが一組存在する
その一組をa,bとしa=bとする
a=b,a≠c,c≠d,a≠dとすると
(a+b+c+c)^2/9=b*c=c*d=d*a
となるがこれによりa=b=c=dとなるので矛盾する
よってc,dのうちどちらかがaに等しいかc=dである
a=b,c=d,a≠cとすると
(a+b+c+d)^2=9*a*cとなるがこれにより
(a-c/8)^2+63/64*c^2=0となり矛盾する
a=b=c,a≠dとすると
(a+b+c+d)^2=9*d*aとなるがこれにより
(d-3/2*a)^2+27/4*a^2=0となり矛盾する
以上からf(a,b,c,d)が極値を持つ必要条件は
a=b=c=d
である
ここでa,b,c,dが正であるという条件を付加すると
lim[a→+0]f(a,b,c,d)→∞
であるからf(a,b,c,d)は最大値をもたない
f(a,b,c,d)は明らかに0以上であり境界か極値点で最小値を持つ
しかし境界はa,b,c,dいずれかが0であるから
lim[a→+0]f(a,b,c,d)→∞
lim[b→+0]f(a,b,c,d)→∞
lim[c→+0]f(a,b,c,d)→∞
lim[d→+0]f(a,b,c,d)→∞
であるから境界はf(a,b,c,d)の最小値点になりえない
よって境界以外に最小値が存在しその点は明らかに極値点であり極値点は存在する
なぜなら、もしf(a,b,c,d)の最小値点がf(a,b,c,d)の極値でないとすると
その点から有る方向に移動すると最小値点より小さくなってしまうので矛盾するから
よって0<a=b=c=dであるa=b=c=d=1が極値点=最小値点である

せっかくだから余談：
a*b*c*d=1からa,b,c,dのとりうる範囲は
[1]0<a & 0<b & 0<c & 0<d:全部正の代表
[2]a<0 & b<0 & c<0 & d<0:全部負の代表
[3]0<a & 0<b & c<0 & d<0:２正２負の代表
の3パターンあるがこれらは
a=0 or b=0 or c=0 or d=0
の境界によって分割され混じることはない
[1] & [2]はa=b=c=dでそれぞれ１つだけ極値を持つ
[3]は極値を持たなず最大値も最小値も存在しない

お礼

回答ありがとうございます
ラグランジュの定理を調べてみました。
どうして、未定乗数を使うと極値が求められるのか、
そのうち極値にならないものをどうやって判断すればいいのか
理解できないところがありましたが、解答をじっくりみて勉強したいと
思います。

補足

ラグランジュの定理について、あまりよくわからなくて
いろいろ質問するのも、気が引けるのですが、
分からないこと等があるので、教えてもらえれば
助かります。回答の中の、「f(a,b,c,d)は明らかに0以上であり境界か極値点で最小値を持つ」
で、f(a,b,c,d)のグラフは５次元になるとおもうのですが、そのグラフの境界はどうなるのか。
（境界とは、グラフでの一般的な境界線のことでしょうか）また、極値も想像できないので、
おしえてもらえればと思います。その関連で言えば・・・・・lim[d→+0]f(a,b,c,d)→∞、であるから境界はf(a,b,c,d)の最小値点になりえない。で、境界に最小値がなくて、どこに最小値が存在することになるのか。これも、境界をグラフの境界線と解釈すると疑問に思うのですが・・・・・
教えてもらえればと思います。

回答No.5

reiman

ちょっと改良

f(a,b,c,d)=(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)
F(a,b,c,d)=f(x)-s*(a*b*c*d-1)
とすると
境界以外においてf(a,b,c,d)が極値を持つときには次の条件が成立する
∂F/∂a=∂F/∂b=∂F/∂c=∂F/∂d=∂F/∂s=0・・・（１）
（１）の条件は
a*b*c*d=1・・・（２）
1/a+9*a/(a+b+c+d)^2=-s・・・（３）
1/b+9*b/(a+b+c+d)^2=-s・・・（４）
1/c+9*c/(a+b+c+d)^2=-s・・・（５）
1/d+9*d/(a+b+c+d)^2=-s・・・（６）
(3),(4),(5),(6)より
(a-b)((a+b+c+d)^2-9*a*b)=0・・・（７）
(b-c)((a+b+c+d)^2-9*b*c)=0・・・（８）
(c-d)((a+b+c+d)^2-9*c*d)=0・・・（９）
(d-a)((a+b+c+d)^2-9*d*a)=0・・・（１０）
(a-c)((a+b+c+d)^2-9*a*c)=0・・・（１１）
(b-d)((a+b+c+d)^2-9*b*d)=0・・・（１２）
もしa,b,c,dがすべて異なるとすると
(a+b+c+c)^2/9=a*b=b*c=c*d=d*a
となるがこれによりa=b=c=dとなるので矛盾する
よって少なくとも互いに等しいものが一組存在する
その一組をa,bとしa=bとする
a=b,a≠c,c≠d,a≠dとすると
(a+b+c+c)^2/9=b*c=c*d=d*a
となるがこれによりa=b=c=dとなるので矛盾する
よってc,dのうちどちらかがaに等しいかc=dである
a=b,c=d,a≠cとすると
(a+b+c+d)^2=9*a*cとなるがこれにより
(a-c/8)^2+63/64*c^2=0となり矛盾する
a=b=c,a≠dとすると
(a+b+c+d)^2=9*d*aとなるがこれにより
(d-3/2*a)^2+27/4*a^2=0となり矛盾する
以上からf(a,b,c,d)が極値を持つ必要条件は
a=b=c=d
である
ここでa,b,c,dが正であるという条件を付加すると
lim[a→+0]f(a,b,c,d)→∞
であるからf(a,b,c,d)は最大値をもたない
f(a,b,c,d)は明らかに0以上であり境界か極値点で最小値を持つ
しかし境界はa,b,c,dいずれかが0であるから
lim[a→+0]f(a,b,c,d)→∞
lim[b→+0]f(a,b,c,d)→∞
lim[c→+0]f(a,b,c,d)→∞
lim[d→+0]f(a,b,c,d)→∞
であるから境界はf(a,b,c,d)の最小値点になりえない
よって境界以外に最小値が存在しその点は明らかに極値点であり極値点は存在する
なぜなら、もしf(a,b,c,d)の最小値点がf(a,b,c,d)の極値でないとすると
その点から有る方向に移動すると最小値点より小さくなってしまうので矛盾するから
よって0<a=b=c=dであるa=b=c=d=1が極値点=最小値点である

回答No.4

reiman

>ラグランジュの未定乗数法に慣れていないので
>どんな解答になるのか、見せてもらえると有り難いです

f(a,b,c,d)=(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)
F(a,b,c,d)=f(x)-s*(a*b*c*d-1)
とすると
境界以外においてf(a,b,c,d)が極値を持つときには次の条件が成立する
∂F/∂a=∂F/∂b=∂F/∂c=∂F/∂d=∂F/∂s=0・・・（１）
（１）の条件は
a*b*c*d=1・・・（２）
1/a+9*a/(a+b+c+d)^2=-s・・・（３）
1/b+9*b/(a+b+c+d)^2=-s・・・（４）
1/c+9*c/(a+b+c+d)^2=-s・・・（５）
1/d+9*d/(a+b+c+d)^2=-s・・・（６）
(3),(4),(5),(6)より
(a-b)((a+b+c+d)^2-9*a*b)=0・・・（７）
(b-c)((a+b+c+d)^2-9*b*c)=0・・・（８）
(c-d)((a+b+c+d)^2-9*c*d)=0・・・（９）
(d-a)((a+b+c+d)^2-9*d*a)=0・・・（１０）
(a-c)((a+b+c+d)^2-9*a*c)=0・・・（１１）
(b-d)((a+b+c+d)^2-9*b*d)=0・・・（１２）
もしa,b,c,dがすべて異なるとすると
(a+b+c+c)^2/9=a*b=b*c=c*d=d*a
となるがこれによりa=b=c=dとなるので矛盾する
よって少なくとも互いに等しいものが一組存在する
その一組をa,bとしa=bとする
a=b,a≠c,c≠d,a≠dとすると
(a+b+c+c)^2/9=b*c=c*d=d*a
となるがこれによりa=b=c=dとなるので矛盾する
よってc,dのうちどちらかがaに等しいかc=dである
a=b,c=d,a≠cとすると
(a+b+c+d)^2=9*a*cとなるがこれにより
(a-c/8)^2+63/64*c^2=0となり矛盾する
a=b=c,a≠dとすると
(a+b+c+d)^2=9*d*aとなるがこれにより
(d-3/2*a)^2+27/4*a^2=0となり矛盾する
以上からf(a,b,c,d)が極値を持つ必要条件は
a=b=c=d
である
ここでa,b,c,dが正であるという条件を付加すると
lim[a→+0]f(a,b,c,d)→∞
であるからf(a,b,c,d)は最大値をもたない
f(a,b,c,d)は明らかに0以上であり境界か極値点で最小値を持つ
しかし境界はa,b,c,dいずれかが0であるから
その点はa,b,c,dが正であるという条件を外しても1=a*b*c*d=0となり取りえない
よって境界以外に最小値が存在しその点は明らかに極値点であり極値点は存在する
よって0<a=b=c=dであるa=b=c=d=1が極値点=最小値点である

回答No.2

alice_44

もともと、等号成立条件が 1/a=1/b=1/c=1/d=4/(a+b+c+d)
になるように、細工をした訳です。
このとき、abcd=1 と併せて a=b=c=d=1 となりますから、
1/a=1/b=1/c=1/d=4/(a+b+c+d)=1 です。

お礼

回答ありがとうございます
相加相乗平均からでできた不等式は左辺＞＝右辺を
示していて、等号のときは、1/a=1/b=1/c=1/d=4/(a+b+c+d)=1のときを
意味していて、必ずしも1/a=1/b=1/c=1/d=4/(a+b+c+d)=1 のとき左辺が
最小とは限らないかと思いました。

回答No.1

alice_44

相加相乗平均の関係を使って手品をするときには、
等号成立条件に注目して、対象となる項の組を決めるのがポイント。

この例であれば、4/(a+b+c+d) を登場させたい。
1/a=1/b=1/c=1/d のとき、1/a=1/b=1/c=1/d=4/(a+b+c+d) になるから。

そのために、全体を 4 倍して、
1/a, 1/b, 1/c, 1/d が各 4 個づつ、4/(a+b+c+d) が 9 個の、
計 4×4+9 項目の相加相乗平均の関係を使えばよい。

お礼

回答ありがとうございます
4×4+9 項に相加相乗平均の関係を正直に使って、
4(左辺)＞＝２５[（1/a・1/b・1/c・1/d )^16*{4/(a+b+c+d)}^9]^(1/25)
とするのでしょうか。
(1/a・1/b・1/c・1/d )^16＝１　となるのはいいのですが、
{4/(a+b+c+d)}^9の処理はどうなるのか、よろしかったら教えてもらえないでしょうか。