不等式の証明

質問

a>0,b>0,c>0,abc=8のとき、次の不等式を示せ。

a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3

考えたこと。
(1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、
　abc=8から、いくらでもa,b,cの値は大きくなるので、うまくいかない。
(2)左辺の第一項a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}をa^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}>=4△/3(△+○+☆)の形にできないか。第二項、第三項も同様にして、３つの式を加えて
左辺>=4(△+○+☆)/3(△+○＋☆)=4/3。とできないかと考えたが、挫折。

よろしく、アドバイスお願いします。

回答No.7

info22_

#1です。

問題の不等式が間違っていたようですね。
回答者に非常な無駄な作業と時間を消費させますので、問題は間違えないように投稿下さい。

誤：a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3

正：a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}+b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>=4/3

不等式を訂正した問題について

与式の左辺に相加相乗平均の関係を適用すると
左辺≧3[(abc)^2/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)
＝3[8^2/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)
＝12/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)　…(★)
相加相乗平均の等号が成立する時には次式の関係が成立つ。

a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}=b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}=c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>0…(●)

この関係式を自乗すると
a^4/{(1+a^3)(1+b^3)}=b^4/{(1+b^3)(1+c^3)}=c^4/{(1+c^3)(1+a^3)}
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)を掛けて
a^4*(1+c^3)=b^4*(1+a^3)=c^4*(1+b^3)
a>0,b>0,c>0の条件でこのa,b,cの方程式にabc=8の方程式をあわせて、
a,b,cの連立方程式を解くと
　a=b=c=2
のみが解の組として出てきます。
（途中計算が非常に大変なので省略。数式処理ソフトで連立方程式を解いた結果、全部で49組の解が存在しますが、46組が虚数解、2組が負数を含む解で、a>0,b>0,c>0を満たす解は(a,b,c)=(2,2,2）の組の1組のみ。）

したがって(★)の式の最後の式はa=b=cとして変形できて
左辺≧12/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)　（等号はa=b=cの時成立）
　　＝12/{(1+a^3)(1+a^3)(1+a^3)}]^(1/3)
　　＝12/(1+a^3)＝12/(1+abc)＝12/(1+8)＝12/9＝4/3
となり、与えられた不等式が成立することが言えます。

お礼

回答ありがとうございます
ご指摘の通り投稿する際は問題に誤りがないか、注意したいと思います。
{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)=<9となることは、どう示せばいいのかと思いました。
{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)>=9 なのかもしれない。(等号はa=b=c=2)

回答No.6

hrsmmhr

どうもおかしいと思ってもうちょっと考えたのですが、
A,B,Cを#5と同じにしますと
与式は(a^2A+b^2B+c^2C)/ABCで相加相乗平均から
>=3(abc)^(2/3)(ABC)^(1/3)/ABC=12/(ABC)^(2/3)となり
ABC>=27となれば
>=4/3となるのだと思います

ですので(ABC)^(2/3)>=9が求めたい条件で、(1)は符号が逆ではないかと思うのですが…

お礼

回答ありがとうございます
確かに>=4/3です。

回答No.5

hrsmmhr

すみません。４は間違いです。
最初に相加相乗平均は厳しすぎます。

ちょっと工夫しました
A=√(1+a^3),B=√(1+b^3),C=√(1+c^3)
与式は
1/ABC(a^2A+b^2B+c^2C)…★
a>=b>=cとして
a>=4のとき
b,c<=2なら
ABC<=9A
★>=16/9>=4/3
b>=2,c<=1なら
★>=1/(√2AB)(a^2A+b^2B)>=1/(√2A)(a^2+3b^2)>=1/(√2A)(a^2+12)
(a^2+12)/Aの微分係数はa>4で常に正なので,a=4で最小
({2aA-(a^2+12)A'}/A^2={2a(1+a^3)-(a^2+12)3/2a^2}/A^3=(4a-36a^2+a^4)/(2A^3))
★>=28/√130>4/3（784/130>16/9より）
a<4なら
(ABC)^(1/3)=√65<9なので相加相乗平均で★>=4/3

回答No.4

hrsmmhr

9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)は

相加相乗平均から
((1+a^3)+(1+b^3)+(1+c^3))/3>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)
1+(a^3+b^3+c^3)/3>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)
ここで(a^3+b^3+c^3)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
=1/2(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}+24>=24であるから
1+24/3=9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)
がいえるのでは？

お礼

回答ありがとうございます
理解有り難うございます
{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)に上限がないのではないかと
思いましたが、この解答からそうでないことが示され、感動です

補足

回答をよくみかえすと、
1/2(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}+24>=24は正しいと思いますが、
示したいのは、=<9で、不等式の向きがぎゃくでないといけないのかと思いました
よって示したいことが、言えていないと思いました。
ただ、私の解答で{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)で、^(1/3)でなく、^(1/2)でした。
また、問題が間違っていました。すみません。
a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}+b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>=4/3
でした。

回答No.3

mister_moonlight

＃2には勘違いあり。よつて　無視しといて。

回答No.2

mister_moonlight

相加平均・相乗平均を使うにしても、問題は使い方。少々の技巧は致し方ないだろう。

√(1+b^3)＝y、√(1+c^3)＝z、√{(1+a^3)＝x と、すると　(a＾2)/(yz)＋(b＾2)/(zx)＋(c＾2)/(xy)≧4/3　を示すと良い。‥‥(1)

(xyz)＾2＝(1+a^3)*(1+b^3)*(1+c^3)＝513＋(a＾3＋b＾3＋c＾3)＋(a＾3*b＾3＋b＾3*c＾3＋c＾3*a＾3)。
相加平均・相乗平均から　a＾3＋b＾3＋c＾3≧24、a＾3*b＾3＋b＾3*c＾3＋c＾3*a＾3≧192.
よって、(xyz)＾2≧729　→　xyz≧27.
従って、x/27≧1/yz、y/27≧1/xz、z/27≧1/xy。
(1)から、(a＾2)/(yz)＋(b＾2)/(zx)＋(c＾2)/(xy)≧(1/27)*(a＾2*x+b＾2*y+c＾2*z)を示すと良い。‥‥(2)
相加平均・相乗平均より　a＾2*x+b＾2*y+c＾2*z≧36　‥‥(3)　abc=8　と　xyz≧27　による。
以上、(a＾2)/(yz)＋(b＾2)/(zx)＋(c＾2)/(xy)≧(a＾2)/(yz)＋(b＾2)/(zx)＋(c＾2)/(xy)≧(1/27)*(a＾2*x+b＾2*y+c＾2*z)≧36/27＝4/3　
等号成立は？

回答No.1

info22_

> (1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、
相加相乗平均を使う方針で良いですね。

> 9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)
これはどこから導出したのですか？
導出過程で相加相乗平均の等号成立条件からa=b=cが言えていませんか？

もしa=b=cが成立っているなら a^3=abc=8　なので
右辺={(1+a^3)(1+a^3)(1+a^3)}^(1/3)=(1+a^3)=1+8=9
となって
9={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)
が言えます。

(検証)
与式の左辺に相加相乗平均の関係を適用すると
左辺≧3[(abc)^2/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)
＝3[8^2/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)
＝12/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)　…(★)
相加相乗平均の等号が成立する時には次式の関係が成立つ。

a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}=b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}=c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>0…(●)

この関係式を変形すると
a^4/{(1+b^3)(1+c^3)}=b^4/{(1+c^3)(1+a^3)}=c^4/{(1+a^3)(1+b^3)}
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)を掛けて
a^4*(1+a^3)=b^4*(1+b^3)=c^4*(1+c^3)

a^4*(1+a^3)=b^4*(1+b^3)　から
a^4*(1+a^3)-b^4*(1+b^3)
=(a-b){(a+b)(a^2+b^2)+(b^6+ab^5+a^2*b^4+a^3*b^3+a^4*b^2+a^5*b+a^6)}
=0
a>0,b>0なので第2項の { }>0ゆえ　a=b
同様にして
b^4*(1+b^3)=c^4*(1+c^3)
の関係から　b=c が言えます。

つまり(●)の関係から「a=b=c」が導出できます。
これは(★)の式の等号条件は「a=b=c」と言えます。

したがって(★)の式の最後の式はa=b=cとして変形できて
左辺≧12/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}]^(1/3)　（等号はa=b=cの時成立）
　　＝12/{(1+a^3)(1+a^3)(1+a^3)}]^(1/3)
　　＝12/(1+a^3)＝12/(1+abc)＝12/(1+8)＝12/9＝4/3
となり、与えられた不等式が成立することが言えます。