不等式の証明

質問

問）
a>0,b>0,c>0,d>0のとき、(a+b)(1/c+1/d)≧4√ab/cdが成り立つことを証明せよ

解答は
(a+b)(1/c+1/d)=a+b/c + a+b/d
a>0,b>0,c>0,d>0よりa+b/c>0,a+b/d>0だから
相加平均、相乗平均の関係を使うと
a+b/c + a+b/d≧2√a+b/c×a+b/d

ここまで書けました（笑
この先どう考えたらいいんでしょうか？？

回答No.2

Mell-Lily · ベストアンサー

a>0, b>0, c>0, d>0
より、
　(a+b)/c>0, (a+b)/d>0.
よって、相加相乗平均の関係から、
　(a+b)/c+(a+b)/d≧2√{(a+b)/c}{(a+b)/d}.
不等式の右辺は、
　2√{(a+b)/c}{(a+b)/d}
　=2√(a+b)^2/cd
　=2(a+b)/√cd.
相加相乗平均の関係から、
　a+b≧2√ab.
したがって、
　2(a+b)/√cd
　≧2{2√ab}/√cd
　=4√ab/cd.
ゆえに、
　(a+b)/c+(a+b)/d≧2√{(a+b)/c}{(a+b)/d}≧4√ab/cd.

とすることもできますが、

相加・相乗平均の関係から、
　a+b≧2√ab, 1/c+1/d≧2√(1/cd).
辺々を掛けて、
　(a+b)(1/c+1/d)≧(2√ab)(2√1/cd)=4√ab/cd.

とした方が、簡明ですね。

回答No.1

oshiete_goo

文字はすべて正より
a+b≧2√ab　(＞０)
1/c+1/d≧2√(1/cd)　（＞０）
を辺々かければよろしいのではないでしょうか．
ただし，等号成立の条件もお忘れなく．