相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明

質問

不等式の証明で、
x,y,zが正の実数で、xyz＞１のとき
x^2y+y^2z+z^2x＞xy+yz+zx
となることを証明せよ、という問題なのですが、
おそらく左辺を３項の相加・相乗平均の関係を使って
左辺≧3xyzを使うのだろうということ以外分かりません。
ご教授お願いします。

回答No.4

take_5

ちょつと訂正。。。。。。笑

＞a、b、c、x、y、zについて平等から、a≧b≧c、x≧y≧zとしても一般性を失わないから、

　　　　　　　　　　　　　　↓

a、b、c、について平等から、a≧b≧c、（従って、y≧x≧z）としても一般性を失わないから、

ついでに、大して代わり映えしないが別解の別解を。。。。。笑

xy＝a、yz＝b、zx＝c　とすると、条件式から　ax＋by＋cz＞a＋b＋c　を証明すると良い。
x、y、zについて平等であるから、x≧y≧z＞0と仮定しても一般性を失わない。
x≧y≧z＞0でxyz＞1という条件から、xyz≧（z）＾3＞1であるから、x≧y≧z＞1.
a＞0、b＞0、c＞0、x≧y≧z＞1より、Ｆ＝ax＋by＋cz－（a＋b＋c）＝a*（x-1）＋b*（y-1）＋c*（z-1）＞0.

回答No.3

take_5

確かに、相加平均・相乗平均を使うと良い。

xy＝a、yz＝b、zx＝c　とすると、条件式から　ax＋by＋cz＞a＋b＋c　を証明すると良い。
x＞0、y＞0、z＞0、xyz＞１より、x＋y＋z≧3（3）√（xyz）＞3‥‥(1)
a、b、c、x、y、zについて平等から、a≧b≧c、x≧y≧zとしても一般性を失わないから、
チェビシェフの不等式（下のＵＲＬを参照）より、3（ax＋by＋cz）≧（a＋b＋c）*（x＋y＋z）＞3（a＋b＋c）　（∵　(1)）
以上から、ax＋by＋cz＞a＋b＋c　。

ここから、別解が浮かんでくる。。。。。。。笑

xy＝a、yz＝b、zx＝c　とすると、条件式から　ax＋by＋cz＞a＋b＋c　を証明すると良い。
x、y、zについて平等であるから、x≧y≧z＞0と仮定しても一般性を失わない。
x≧y≧z＞0でxyz＞1という条件から、xyz≧（z）＾3＞1であるから、z＞1.
a＞0、b＞0、c＞0、x≧y≧z＞1より、Ｆ＝ax＋by＋cz≧ay＋by＋cz≧az＋bz＋cz＝z*（a＋b＋c）＞（a＋b＋c）

参考URL：

http://www.suriken.com/knowledge/glossary/chebyshev-inequality.html

回答No.2

narucross

x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)
=(1/2){(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)}

回答No.1

shippo_ppk

相加・相乗平均の関係を使うと思う背景を教えてください。