相加・相乗平均を使う不等式

質問

相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。

a,b,c,dは全て正の数として

＊(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。

ですが
＊(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
のときには
a+2b≧2√2ab
2c+d≧2√2cd
を証明して二つをかけ合わせますよね？

このとき方の違いはどうしてでしょうか？

上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

「等号成立条件が同時に成立できるか」どうか、が相加相乗を２回使っていいかどうかの分かれ目です。

(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
は、
a+2b≧2√2ab （等号成立条件は、a=2b）
2c+d≧2√2cd（等号成立条件は、2c=d）
で、a,b,c,dとの間に何の関係（制限）がないとすれば、a=2bと2c=dは同時に成りたつようにできます。
こういう場合には、２回に分けてもＯＫ

(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を相加相乗を２回使って解きたいというのは、つまり、
a+2/b ≧ 2√(2a/b)　　（等号成立条件は、a=2/b)
2b+1/a ≧ 2√(2b/a)　（等号成立条件は、2b=1/a)
で、これをかけて、(a+2/b)(2b+1/a)≧8 ていうことだと思いますが、
２つの等号成立条件
a=2/b
2b=1/a
というのが同時に成り立つことはありません。なんで、２つの式を単に掛け算した時にでてくる (a+2/b)(2b+1/a)≧8 の、最小値８は実際には取ることができません。

お礼

回答ありがとうございます！

使い分けがよく分からなかったのですが、理解することができました。
相加相乗を２つ使って解くときに、２つの等式に矛盾が出てきてはいけないんですね。
ありがとうございます＾＾

回答No.2

mister_moonlight

＞＊(a+2/b)(2b+1/a)≧9
＞上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

そんな事はない、工夫すれば出来る。a+2/b＝a＋1/b＋1/b、2b+1/a＝b＋b＋1/a　に気がつけば良い。

a＋1/b＋1/b≧3（3）√（a/b＾2）　‥‥(1)　等号は、ab＝1の時。
b＋b＋1/a≧3（3）√（b＾2/a）‥‥(2)　　等号は、ab＝1の時。
よって、(1)と(2)をかけると、{a＋1/b＋1/b}*{b＋b＋1/a}≧9。等号は、ab＝1の時。

お礼

なるほど！
(a+2/b)と(2b+1/a)の等号成立条件をそろえることが出来れば、かけても大丈夫
ということでしょうか。。

回答ありがとうございます＾＾