不等式の成立条件の証明

質問

以下，問題文です。

任意の実数a,bと任意の正の実数c,dについて，次の不等式（添付画像）が常に成立するなら証明せよ。必ずしも成立しないなら成立しないようなa,b,c,dの値を例示せよ。

皆目見当がつかず，滞っています。
不等式であるとはいえ相加・相乗平均のような
特徴的な解法が存在するのかも不明です。
どなたか解法の動機をご教授頂きたいと思います。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

簡単な問題なんだが、max（x、y）の意味が分らないだけなんだろう。
この記号は、x≧yの時　max（x、y）＝x、y≧xの時　max（x、y）＝yを表しているだけ。
それをこの問題に適用すると。

a/c≧b/dの時、c＞0、d＞0　からad≧bc。max{a/c、b/d}＝a/cだから、（a/c）-（a＋b）/（c＋d）＝（ad-bc）/c（c＋d）。
分母＞0で　分子＝ad-bc≧0.

a/c＜b/dの時も同じようにすれば良い。

お礼

mister_moonlightさん，ご回答ありがとうございます。

恐縮ですが仰るとおりmax()の定義を
既知としていませんでした。
しかし，今回ご教授頂き明確になりました。

これを踏まえれば一般的な証明題に
落ち着く為解答が得られました。
懇切丁寧なご指導感謝致します。

回答No.2

gohtraw

ｄ＝αｃ（αは正の実数）とおいて、
（１）ａ／ｃ＞＝ｂ／ｄの場合αａ＞＝ｂなので
（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ｄ）＝（ａ＋ｂ）／ｃ（１＋α）＜＝ａ（１＋α）／ｃ（１＋α）＝ａ／ｃ

（２）ａ／ｃ＜ｂ／ｄの場合αａ＜ｂ、つまりａ＜ｂ／αなので
（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ｄ）＝（ａ＋ｂ）／ｄ（１＋１／α）＜ｂ（１＋１／α）／ｄ（１＋１／α）＝ｂ／ｄ

お礼

gohtrawさん，ご回答ありがとうございます。

「ｄ＝αｃ（αは正の実数）」と置く
解法には全く気づきませんでした。
早速活用したところ納得し，
一つ知識として得られました。

今後もご懇意に与りたいと思います。

回答No.1

nag0720

(a+b)/(c+d)≦max(a/c, b/d)
これを証明するには、次のことを示せばいいことになります。
(a+b)/(c+d)＞a/c　⇒　(a+b)/(c+d)≦b/d

(a+b)/(c+d)＞a/c　⇒　ac+bc＞ac+ad　⇒　bc＞ad　⇒　bc+bd＞ad+bd　⇒　b/d＞(a+b)/(c+d)

お礼

nag0720さん，ご回答ありがとうございます。

max()の定義を再度調べた後，
ご指導頂いた過程を踏まえれば
一般的な証明に落着しました。

ご教授賜り感謝いたします。