不等式の証明

質問

a,b,cはabc=1を満たす実数のとき、
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)=<1 が成り立つことを示せ。

(a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=<1を示すことと同じ。

a=<b=<cで考える。
(1)a>1のとき、abc=1を満たすa,b,cは存在しない。
(2)a=1のとき、b=c=1 以外になく、このとき、不等式は成り立つ。
(3)a<1のとき、(a-1+ac)の正負は、a=1/(1+c)を境に変わる。
　　ア．a=<1/(1+c)のときは不等式の左辺は負または０になるから、成り立つ。
　　イ．a>1/(1+c)のとき、相加相乗平均より、
　　左辺=<{(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3}^3　これが、１以下を示せばよいと思いましたが、
　　a=1/2,b=1,c=2とすると、(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3が１より大きくなってしまいます。
　　どこが間違っているのか、よくないのか。よろしくアドバイスをお願いします。

回答No.2

math_noonlight · ベストアンサー

＞どこが間違っているのか、よくないのか。よろしくアドバイスをお願いします。
質問者はアドバイスを求めているのに、自己流の回答を押しつけようとするよい例だ。
やたらと文字をおく。方針が定まっていない証拠。
＞ア．a=<1/(1+c)のときは不等式の左辺は負または０になるから、成り立つ。
これを読めばa,b,cは正実数を前提にしていることが想像できる。逆にきちんと読んでいればここが突っ込みどころになる。
a=-3,b=-1,c=1/3のとき左辺=5となることでも容易に検証可能。
こんな検証もせずにアドバイスではない回答しているのだ。嘆かわしいことだ。

a,b,cをabc=1を満たす正実数とする。
(3)ア.イ.の場合分けは重要。これによって左辺が負になる場合と正になる場合とを分けることができ、左辺が正になるときは3つの項がすべて正であることも示される。
イ.では3つの項で相加相乗平均を使おうとしたことが敗因。ここは2つの項で考えるとよい。
ただしb-1+ab=b(a+1-1/b)と変形しておくことがポイント。
2つの項の積は(a-1+ac)(b-1+ab)=b(a-1+1/b)(a+1-1/b)≦ba^2　　　　★
無論ここはb(a-1+1/b)(a+1-1/b)=b{a^2-(1-1/b)^2}≦ba^2と相加相乗平均を使わなくても示すことができる。
★のような式をあと2通り作って3つの不等式を掛け合わせれば（両辺が正の不等式は掛け合わせが可能）右辺が(abc)^3=1となり、等号成立を述べて証明が終わる。

以上のように考えれば場合分けのポイントはa=1/(1+c)
だから(1)(2)の場合分けは不要。a≦b≦cもなくてもいい。

お礼

回答ありがとうございます
間違っているところを指摘してもらい、大変勉強になります。
また、最後の「だから(1)(2)の場合分けは不要。a≦b≦cもなくてもいい。」
の部分も、自分自身あまりすっきりしていなかったので、細部にわたる添削
ありがとうございます。自分でもう一度、じっくり考える励みになりました。

補足

証明が確認できました。
相加相乗平均を３項でなく、２項について★のように
もちいるとよいという判断には、何か理由があるのでしようか。
もし、あるとすると問題を解く際の大きな武器になると思いました。
bでくくって、相加相乗平均をもちいる手順も、何か信念をもって使っているように
思うのですか゛・・・。

回答No.4

math_noonlight

大変申し訳ない。
ANo.3は別の問題の計算メモを見て回答してしまった。
3項のときでも相加相乗平均で等号は成立する。(a=b=c=1のとき）
勘違いによる悪言、心からお詫びする。大変申し訳ない。ANo.3は忘れて欲しい。

お詫びの印に“微妙な用い方の差”について簡単に説明したいと思う。
不等式には“誤差”のようなものがある。
それは両辺の差を基準にする量で割ったものである。
当然のことだが、この“誤差”が小さいほど基準とする量に近く、大きいほど離れる。
2項の相加相乗平均を使って積（基準にする量）から和にするときの“誤差”は(A^2+B^2-2AB)/(2AB)である。
3項では(A^3+B^3+C^3-3ABC)/(3ABC)となる。
これらの“誤差”について次の不等式が成り立つ。
{(A^2+B^2-2AB)/(2AB)}{(B^2+C^2-2BC)/(2BC)}{(C^2+A^2-2CA)/(2CA)}≦{(A^3+B^3+C^3-3ABC)/(3ABC)}^2, ただしA,B,C>0
（等号成立はA=B=Cのときのみ）
つまりANo.2の解法のように2項の相加相乗平均を3つ掛け合わせてその平方根をとったときの“誤差”は3項の相加相乗平均を1回使ったときの“誤差”以下になるということである。
不等式は“誤差”の小ささとともにシンプルさが求められるが、今回はこの“誤差”の大小が証明への適用可否に繋がったということである。

さらに不等式を選ぶとき、得られた式がどちらに凸かを見ておくことも大切である。
今回の問題は最大値を押さえたもので左辺には次数から凸性があるので、等号を成立させる近傍で左辺は上に凸になっていなければならない。
しかし3項の相加相乗平均を使って得た(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3には t+1/t(≧2),t>0 という下に凸の式(例:a+bc=a+1/a)だけで構成されているので最大値を押さえることはできない。
他方2項で計算して得たb{a^2-(1-1/b)^2}には上に凸の部分-(1-1/b)^2があるので、これをうまく使って最大値を押さえることができる。
（実際ba^2は下に凸だが、これは他の2つの式を掛け合わせてabc=1で消して押さえられた。）
凸の向きを考えることは不等式を使って得た結果に見込みがあるかを判断するときに有効である。

以上が不等式を変形していくときの基本的な考え方である。
謝罪の印として受け取ってもらえればありがたい。

お礼

回答ありがとうございます
うまく証明できないのは、それなりの理由があるのだと改めて感じました。
「不等式を選ぶとき、得られた式がどちらに凸かを見ておくことも大切である。」
ここまで、考えたことが無かったので、今後、問題を解く時にこのことを意識してみたいと
思います。

回答No.3

math_noonlight

＞素朴な疑問ですが、３項間に相加相乗をもちいて
＞(a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=<{(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3}^3
＞でどうして、右辺が１以下になりえないのか。
＞それが、２項間にもちいていくと、１以下を導き出せるのか。
＞微妙な用い方の差が、何に影響しているのか、よくわかりません。
＞もし、よろしければ教えてもらえないでしょうか。

＞相加相乗平均を３項でなく、２項について★のように
＞もちいるとよいという判断には、何か理由があるのでしようか。
＞もし、あるとすると問題を解く際の大きな武器になると思いました。

さあ十分な時間を与えたが、この“素朴な疑問”は自己解決できたかね。
こんなものは“微妙な用い方の差”でもなければ“武器”でもない。
逆に君がただポカをして相加相乗平均の使用上の注意を忘れて当てはめただけだ。
（等号が成立しない不等式をもってくるなど考えられない。）
（基本装備の使い方も知らず、不等式を舐めているのか）
(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3≧1になるのは当然。
こんなことは人にきくまでもなく自分で気づくべきこと。
この回答を見る前に気づいていればよいが、どうだい？指摘されて恥ずかしくないか？
そう思ったらこれからはとことん考え抜くこと。
基本をないがしろにする者はいくら問題をこなしても力はつかない。
そんな君に“微妙な用い方の差”を説くにはまだ早い。
君が基本装備の使い方をマスターしたときに語れるときもあるだろう。

回答No.1

mister_moonlight

完全に解けないから言うじゃないが、a＞0、b＞0、c＞0　の条件があるんじゃないか？
それなら、解ける。。。。。。。自信ないが。。。。。。ｗ

a＝y/x、b＝z/y、c＝x/z　とすると、xy＝α、yz＝β、zx＝γ　(α＞0、β＞0、γ＞0)として、(α＋βーγ)*(γーα＋β)*(α＋γ-β)/(αβγ)≦1　を証明する事になる。
そこから、場合わけが必要だが、α＋βーγ＞0、γーα＋β＞0、α＋γ-β＞0　の時は、2つずつの相加平均・相乗平均をつくり、その3つの不等式を掛け合わせれば証明できるんだが。。。。。？

私の勘違いだろうか？

お礼

回答ありがとうございます
すみませんでした。おっしゃる通り、a＞0、b＞0、c＞0の条件が
ありました。これから、注意したいと思います。
発想がすごいと、思います。勉強になります。
この後の証明も興味深い。