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どなたか下記の数理ファイナンスの問題を解答できる方はいませんでしょうか

2010/06/11 13:55

どなたか下記の数理ファイナンスの問題を解答できる方はいませんでしょうか？単純な1期間モデルを考えよう。市場には2つの証券しかないとする。期初(t = 0)での証券j ( j=1, 2) の1単位の価格を q j とする。これは期末(t =1)でも同じ価格だとする。またq =(q1, q2)Tとする。期末(t =1)に起こりうる状態は2つであるとし、それをsで表そう(s =1, 2)。dsj (s, j =1,2) を状態sにおいて証券jの１単位から得られる配当としよう。またD = [dsj]とする。Dは配当行列と呼ばれる。この2つの証券からなるポートフォリオを考える。このポートフォリオは証券jをxj単位保有するとする。xjは負にも成りうるとする(つまり空売りを許すとする)。また x=(x1, x2)Tとしよう。この時、このポートフォリオの価値は q ・x = q T x = x1q1 + x2q2 である。 xは期初に決定し、期末に変更する事はできないとする。期末における配当をb=[b1, b2]T としよう。ここでbiは状態s = iにおける配当とする。bは b=D x =[ d11x1 + d12x2 , d21x1 + d22x2 ]T と表す事ができる。 (1) d11 = 3, d12 =2, d21 =0, d22=5 としよう。配当がb=[2, 1]Tとなるxを求めよ。 (2) q=[1, 5]T としよう。(1)で求めたポートフォリオの価値はいくらか？「 (メモ1) 次のいずれかの条件が満たされる時ポートフォリオxは裁定であるという。 (I) q ・x≦0 かつ D x >0 もしくは (II) q ・x < 0 かつ D x≧0, ここでベクトルaに対して、a ≧0 とはaの全ての成分が0以上であることを示す。またa >0 とはaの全ての成分が0以上であり、かつ少なくとも1つの成分は0より大きいことを示す。 (裁定であるとは簡単に言うと元手0円で儲ける事ができるという事である。) 市場に裁定が存在するとは上記のようなxが存在するという事である。」 (3) 問題(1)、(2)のqとDに対して、ボートフォリオ x =(2/3, ?1/3)T を考えよう。このポートフォリオは裁定であるかどうか答えなさい？メモ1を参考にして答えなさい。 q = DTψ, ψ=(ψ1, ψ2)T , ψ1 >0, ψ2>0, となるψを「状態価格」という。 (4) 問題(1), (2) のDとqに対してψを求めよ。「 (メモ2) 市場に裁定が存在しないための必要十分条件は状態価格が存在する事である。」 (5) 問題(1), (2)において価格qは変わらないが配当行列が ???????5123Dに変わったとしよう。状態価格は存在するか？「 (メモ3) 状態価格が一意に決まるとき、市場は完備であるという」 (6) 問題(1), (2)のqとDから成る市場は完備かどうか答えなさい。メモ3を参考にして答えなさい。 (7) 問題(1)のDに対して期末における配当がb =(1, 0)T となるポートフォリオx1、および b= (0, 1)Tとなるポートフォリオx2を求めよ。「 (メモ4) 上のように期末の配当を、状態i に対しては1、その他の状態においては0とするようなポートフォリオの事をArrow証券という。」 (8) 任意の配当(y, z)Tを得るためにはどのようなポートフォリオを組めばよいか？(ヒント任意の配当はArrow証券を組み合わせる事によってできる。) (9) この問題のような、証券が2つ、状態が2つの市場において、ψが一意的に存在するためにはDのランクはいくつでなければならないか？ (10) 問題(1)のDに対して配当がb = (1, 1)Tとなるポートフォリオの価値を求めよ。ただし価格qは不明であり、状態価格ψのみψ=(3, 2)Tとわかっているとする。「 (メモ5) 問題(10)の、このように状態に依存せず常に一定の配当が得られるようなポートフォリオを無リスクポートフォリオという。」今、この市場で起こりうる状態が2つから3つに増えたとしよう。この状態s = 3における証券1と2の配当はそれぞれ0、1とする(つまりd31=0, d32=1 である)。配当行列は ???????????105023D とする。 (11) この市場には裁定が存在するか？ (a) 存在する (b)存在しない (c)どちらともいえないのいずれかを選んで答えよ。メモ2を参考にして答えよ。 (12) この市場は完備か？ (a) 完備である (b)完備でない (c)どちらともいえないのいずれかを選んで答えよ。メモ3を参考にして答よ。 (