数学の問題です｡どなたかお願いします｡

質問

xy平面上の2点P1(x1,y1),P2(x2,y2)に対して,d(P1,P2)をd(P1,P2)=|x1-x2|+|y1-y2|で定義する｡いま点A(3,0)と点B(-3,0)に対して,d(Q,A)=2d(Q,B)を満たす点Qからなる図形をTとする｡このとき,以下の問いに答えよ｡
(１)点(a,b)がT上にあれば,点(a,-b)もT上にあることを示せ｡
(２)Tで囲まれる領域の面積を求めよ｡
(３)点Cの座標を(13,8)とする｡点DがT上を動くとき、d(D,C)の最小値を求めよ｡

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
点Qの座標を (a , b) とする。
d(Q,A) = | a - 3 | + | b - 0 | = | a - 3 | + | b |
d(Q,B) = | a - (-3) | + | b - 0 | = | a + 3 | + | b |
点Q’ (a , -b) に対しては
d(Q’,A) = | a - 3 | + | -b - 0 | = | a - 3 | + | b |
d(Q’,B) = | a - (-3) | + | -b - 0 | = | a + 3 | + | b |
よって
d(Q,A) = d(Q’,A) , d(Q,B) = d(Q’,B)
が成立するので
Q ∈ T と Q’ ∈ T は同値である。【証明終わり】

(2)
(1) と同じく Q (a , b) とする。まず b ≧ 0 として考える。
d(Q,A) = | a - 3 | + b , d(Q,B) = | a + 3 | + b
であり
d(Q,A) = 2 * d(Q,B) とすると
| a - 3 | + b = 2 | a + 3 | + 2b …(*)

(i) a ≦ -3 のとき (*) より
- (a - 3) + b = -2 (a + 3) + 2b
∴ b = a + 9
(ii) -3 ≦ a ≦ 3 のとき (*) より
- (a - 3) + b = 2 (a + 3) + 2b
∴ b = -3a - 3
(iii) a ≧ 3 のとき (*) より
(a - 3) + b = 2 (a + 3) + 2b
∴ b = -a - 9

以上 (i) (ii) (iii) より、y
「x ≦ -3 かつ y = x + 9」
「-3 ≦ x ≦ 3 かつ y = -3x - 3」
「x ≧ 3 かつ y = -x - 9」
この３つの半直線・線分をつないだ図形のうち y ≧ 0 の部分に存在する部分をUとする。
Uと、Uをx軸対称に移動させた図形をあわせたものがTである。
Uは、(-9 , 0) , (-3 , 6) , (-1 , 0) の3点を順に結んだ図形である。
よってTは、(-9 , 0) , (-3 , 6) , (-1 , 0) , (-3 , -6) の4点を頂点とする四角形である。
T で囲まれた部分の面積は、
（Uとx軸で囲まれた三角形の面積の2倍なので）

(8 * 6 / 2) * 2 = 48 …答

(3)
(2) で得られた四角形の右上に点Cがあることから、dの最小値が得られる点Dは四角形の右上の辺上にある。
(2) で得られた四角形の頂点のうち、
上にある(-3 , 6) をE とおき、右にある(-1 , 0) をF とおく。
線分EF上に点Dがくるときの d(D,C) の値の最小値を求める。
線分EFの方程式は
y = -3x - 3 (-3 ≦ x ≦ -1)
となるので、点Dの座標は
D (x , -3x - 3) (-3 ≦ x ≦ -1)
とおける。このとき
d(D,C) = | x - 13 | + | (-3x - 3) - 8 | = | x - 13 | + | -3x - 11 |
となる。
xの範囲より x - 13 < 0 , -3x - 11 < 0 なので
d(D,C) = - (x - 13) - (-3x - 11) = 2x + 24
よって、x = -3 （つまり D (-3 , 0) ）のとき
d(D,C) は最小値 18 をとる。…答