微分の問題がわかりません

質問

ｆ（ｘ）＝x^3+ax^2+bx+c　(a,b,c,dは実数)　が

(ⅰ)f(-x+d)+f(x+d)=2f(d)
(ⅱ)f(d)=-11
(ⅲ)f(x)は x=-1 で 極値5 をとる

を満たすとき、
（１）a,b,c,dの値
（２）区間 p≦x≦q におけるf(x)の値域が 5p≦f(x)≦5q
となるように実数p,qの値を定めよ。ただし p<-1, p<q　とする。

という問題なんですが、
abcdの値は似たような問題は解けるんですが
この問題はdの三次関数が発生してうまく解けません。
あと(2)の解法もなかなか思いつきません。
解法わかる方いましたらお願いします。

回答No.6

kumipapa · ベストアンサー

＞　1.f(x)とy=5xとの接点を出す。
f(x) = 5x を解いて、x = ( 3 - √65 )/2 , 0, ( 3 +√65 )/2 ですね。
グラフを見ると、
q＞( 3 + √65 )/2 なら f(q) ＞ 5q
p＜( 3 - √65 )/2 なら f(p) ＜ 5p
が分ります。ですから、
( 3 - √65 )/2 ≦ p , q ≦ ( 3 + √65 )/2 ・・・　（１）
でなければなりません。

＞　2.1の結果において最小値はx=3における極値になる
＞　3.f(x)=-27となるxの値を求める(x≠3の方)
f(x) = -27 を解いてみますと、
x^3 - 3x^2 - 9x +27 = 0 ⇔ ( x - 3 )^2 ( x + 3 )=0
∴ x = -3, 3
なんですが、x = -3 ＜ ( 3 - √65 )/2ですから、3≦qならば　p≦x≦qでのf(x) の最小値はf(3)= -27 。故に、y=-27とy=5xの交点をpとすることを考えて5p = -27 を解いてp = -27/5とすれば良いように思うのですが、残念、-27/5 ＜ ( 3 - √65 )/2 ですので、このpは（１）を満足しません。
ということは、x = 3 が変域に含まれてしまうと、p≦x≦q で5p≦f( x ) になるpが存在しなくなる。よって、x = 3 を変域に含まないように、q ＜ 3としなければなりません。
もう一つおまけに、ｑ＜０では、題意を満たすp, qが同時に存在することはないことがグラフより分ります。
ということで、ここまでを整理すると、（１）の条件はさらに狭くなって、
( 3 - √65 )/2 ≦ p ＜ －１ ＜ ０ ≦ q ＜ 3
でなければならないことが分ります。

p ＜ - 1 ＜ 0 ≦ q ＜ 3のとき、p≦x≦qでのf(x) の最大値は f(-1) = 5
y=5 と y=5x との交点の x座標をqとすればよいので、
5q = 5 よりq=1であるが、0≦ q ＜3を満たすのでOK。
∴ q=1とすれば、x≦q ならば f(x) ≦ 5qが成立。

という事で、ｑ＝１です。
ｑが決まりましたので、ｐをやっつけますが、少々面倒です。

( 3 - √65 )/2 ≦ p ＜ -1 であることは忘れずにおいて・・・

p ≦ x ≦ 1でのf(x)の最小値は、 f(p) もしくは f(1) = -11

( 3 - √65 )/2 ＜ x ＜ 1 で f(x) = -11 を解くと、x= 1 - 2√3が得られ、

p ＜ 1 - 2√3 ならば、f(x)の最小値はf(p)　　　　・・・　（２）
1 - 2√3 ≦ p ならば、f(x)の最小値はf(1) = -11　　・・・　（３）

（２）の場合は、 y = f(x) と y=5x の交点が求めるpで、
ｐ＝(３－√６５) / ２, ｑ＝１とすれば、ｐ≦ｘ≦ｑならば５ｐ≦ｆ(ｘ)≦５ｑが成立。

（３）の場合、 y = -11 と y = 5x の交点を求めてx = -11 / 5ですが、1 - 2√3 ＜ -11 / 5よりp = -11 / 5 としてよい。ということで、
ｐ＝－１１ / ５, ｑ＝１とすれば、ｐ≦ｘ≦ｑならば５ｐ≦ｆ(ｘ)≦５ｑが成立。

以上より、（ｐ，ｑ）は（(３－√６５) /２ , １），（－１１ / ５ , １）

だと思うんですが、グラフ眺めながら確認してみて頂けませんか。

お礼

解答ありがとうございます。
よく読んでみるとさっきの解法は間違えていたようです。

自分なりにまとめて
1.qの値は最大値が極値の1とy=5x上の(3+√65)/2が考えられる。
2.(3+√65)/2はpの値が存在しないので不適。
3.q=1の時、pは最小値を-11とする時とy=5x上の-11/5と(3-√65)/2
としました。
最小値は最大値に依存されやすいので
最大値の考えられるパターンにより場合分けして
個別に最小値を出すべきだったようです。

回答No.7

kumipapa

答えが一致したなら、一安心です。
計算間違いしてなかったか・・・ほっ。

極値を考えなければならないのと、ｙ＝５ｘの直線を引っ張るのに気づくか・・・というところで少々面倒ですが、グラフをかいて、注意深く場合分けしてと地道にやるのがいいみたいですね。

お礼

思った以上に泥臭い問題で大変でした。
いろいろありがとうございました。

回答No.5

kumipapa

＞　途中で
＞＞　(3-√65)/2 ≦ ｘ ≦ (3+√65)/2
＞　が計算合わないのですがもしかして(3±√45)/2のことでしょうか？

？？？ごめんなさい。良く分らない。
質問者さんの#1～#3の回答で、ｆ(ｘ) = 5ｘを解いて、
p=(3-√65)/2
q=(3+√65)/2
が得られたのですよね？この計算自体は合っていると思います。
で、このようにｐ，ｑを定めればｘの変域 ｐ≦ｘ≦ｑで５ｐ≦ｆ(ｘ)≦５ｑになるでしょう、という回答だったのでは？
私が勘違いしてたかな？

すると、ｆ(ｘ)の最小値が５ｐ＝ 5(3-√65)/2 ってことになっちゃうんだけど、ｘ＝３はこの変域に入っているにも関わらず、ｆ(３)＝－２７＜ 5(3-√65)/2 ですから、間違ってますねという話です。

お礼

すいません極値を織り込んで考えると
全然やりかたがわからなくなります。
良ければ(2)の答えまで書いてもらえませんか？

自分の頭の中では
1.f(x)とy=5xとの接点を出す。
2.1の結果において最小値はx=3における極値になる
3.f(x)=-27となるxの値を求める(x≠3の方)
4.その値をf(x)に代入して-27より低くないか確認する
5.pは3で出した値、qは1で出した値

かなと思うんですが３以降が分かりません。

補足

すいませんこちらの勘違いでした。
(3±√65)/2　この値を関数とx軸の交点のx座標と思っていました。

回答No.4

kumipapa

（１）よかったですね。

（２）うーん、早合点かな？
だから、グラフをなるべく正確に描いてみましょう。
めんどくせーと思っても、とにかく描いてみて。
それから、ｐ≦ｘ≦ｑ，5p ≦ f(ｘ) ≦ 5q　⇔　f(p)=5p, f(q)=5q　とは限りませんよね。

ｙ＝ｆ(ｘ）とｙ＝５ｘの交点を考えて、
その上さらに、ｙ＝ｆ(ｘ)の極値をｙa , ｙb として、直線 ｙ＝ｙa , ｙ＝ｙb とｙ＝５ｘの交点も考える必要があるのです。この後半が抜けてます。

ｆ(ｘ) ＝ ｘ^3 － ３ｘ^2 － ９ｘ
の極値を求めてみると、ｆ(－１）＝５とｆ(３)＝－２７が求まりますね。
(3-√65)/2 ≦ ｘ ≦ (3+√65)/2でのf(x)の最小値はｘ＝３のとき－２７です。
5p ≦ ｆ(ｘ)が成立していません。
また、q=1とすると、ｐ≦ｘ≦ｑ (=1)でのｆ(ｘ)の最大値はｆ(－１）＝５
ということで、ｘ≦ｑ (=1) でｆ(ｘ)≦５ｑを満たす。

この問題、やはりｙ＝ｆ(ｘ)とｙ＝５ｘのグラフをなるべく正確に重ねて描いて、そのグラフを眺めて考えた方が良いと思います。上品なんじゃなくて、それなりに泥臭いんです。

お礼

わかりました、例えば最大値に関して、
もしf(q)＝5qとなる点があっても、
それより上に極値f(-1)があれば式が成立せず、
また最小値の場合も同様ということですね？
よく考えて見ます。

補足

よく計算してみると確かに早合点なようなので
現在計算しなおしています。

途中で
＞(3-√65)/2 ≦ ｘ ≦ (3+√65)/2
が計算合わないのですがもしかして(3±√45)/2のことでしょうか？

回答No.3

kumipapa

#1,2 さんが言われるように、（１）だけでも途中結果まで示してもらえれば、どこが違うか、どこに考え落としている点があるか、具体的に指摘してもらえると思います。他の方々の解法を聞くだけでなく、自分の考え方のどこが違っていたのかを知る事も重要でしょう。

（１）ですが、
＞　この問題はdの三次関数が発生してうまく解けません。
ということは、条件からa,b,cを全てdで表すところまではできて、最後に残ったdの３次方程式をうまく解けないということでしょうか。dの3次式が残るようにやってみましたが、
ｄ^3＋３ｄ^2＋３ｄ－７＝０
となって、これは
(ｄ－１)(ｄ^2＋４ｄ＋７）＝０
と因数分解できてd＝1と求まります（実数解は１つだけ）。もう一度計算間違いに気をつけてトライしてみたらどうでしょう。

（２）ですが、（１）で a=-3,b=-9,c=0が得られて、f(x)＝ ｘ^3 － 3ｘ^2 － 9ｘ と分かったら、ｙ＝ｆ(ｘ)が極値をとる座標と、ｘ軸との交点を調べて、ちゃんとグラフを書いて見ましょう。
そして、そのグラフの上に、直線ｙ＝５ｘのグラフを重ねて書いてみます。
そうすれば、答えが見えてきます。
おまけのヒントは、
・　ｙ＝ｆ(ｘ) とｙ＝５ｘとの交点を考える。
・　ｙ＝ｆ(ｘ) の極値をｙa,ｙbとし、ｙ＝５ｘとｙ＝ya,ｙ＝ybとの交点も考える。

お礼

（１）が解けないのは単なる計算ミスでした。
（２）も１の結果であれば簡単に解けるように作ってありました。
今後気をつけます、失礼しました。

＞（１）ですが
そういうことです。
dの計算ミスで因数定理が使えなかったのが原因です。
d^3+3d^2+3d-7=0　はx-1で簡単にくくれますね！

＞（２）ですが
グラフを書いてy=5xを重ねる方法は思いつきませんでした。
たしかにこの解法のほうが上品な気がします。

f(x)=x^3-3x^2-9x
f'(x)=3x^2-3x-9
　　=3｛x-(1+√13)/2｝｛x-(1-√13)/2｝
これでグラフを書いて、y=5xとの交点を考える。

x^3-3x^2-9x-5x=0
x(x^2-3x-14)=0

x=0,(3±√65)/2

p<-1より　p=(3-√65)/2
p<q ,またq=0としたとき値域は5p≦f(x)≦f｛(1-√13)/2｝となり不適なので、
q=(3+√65)/2

∴
p=(3-√65)/2
q=(3+√65)/2

回答No.2

info22

(1)ができないと(2)のｆ(x)もわかりませんね。
(1)は計算は面倒ですがこつこつと計算して行けば解けます。
a,b,c,dについての方程式を4つ作って連立方程式を解けばいいだけです。
(i)から　a+3d=0
(ii)から f(d)=0の式
(iii)から　f'(-1)=3-2a+b=0, f(-1)-1+a-b+c=0
と4つの式ができますよ。
(1)の答えは
a=-3,b=-9,c=0,d=1

(2)はf(x)が分かればできるでしょうから
f(x)=x(x^2-3x-9)
この先は自力でやってみて下さい。

お礼

解答ありがとうございます。
-6d-3-c+3d+6=0
⇔c=-3d-3　・・・・・(ⅲ)

ここを計算ミスしていました。 c=-3d+3 です。
これを (c)に代入して、
d^3+3d^2+3d-7=0
(d-1)(d^2+4d+7)=0
dは複素数より、d=1
　　　　　　　　　　　∴a=-3,b=-9,c=0,d=1

求められました。

(2)は
f(x)=x(x^2-3x-9)

条件より f(p)=5p,　f(q)=5q なので、

p(p^2-3p-9)=5p
p<-1　より
p^2-3p-14=0
p=(3±√65)/2 p<-1より　p=(3-√65)/2
また
q(q^2-3q-9)=5q
ここでq≠0として、
q^2-3q-14=0
q=(3±√65)/2
p<qと q≠0　より、　q=(3+√65)/2

∴ p=(3-√65)/2　，　q=(3+√65)/2

となりました。
計算ミスをして難しく考えていました。

回答No.1

info22

なぜできる範囲の解答を書かないで問題だけなげ、丸解答を求められるのですか？質問されるなら、まず不完全で結構、解答を補足に書いて下さい。
そうでないとマナー違反ですよ。

お礼

ごめんなさい、以後気をつけたいと思います。
解答は以下の通りです。

(ⅰ)に代入して
f(-x+d)+f(x+d)
=(-x+d)^3+a(-x+d)^2+b(-x+d)+c
+(x+d)^3+a(x+d)^2+b(x+d)+c
=(2a+6d)x^2+2bd+2c+2ad^2+2d^3
=-22 (∵ (ⅱ)のf(d)=-11 )

係数比較して、
2a+6d=0
2bd+2c+2ad^2+2d^3=-22

より　a=-3d ・・・・・・・・・・・・・・・・(I)
代入して　2d^3-bd-c-11=0 ・・・・・(a)

また、
f(-1)=-1+a-b+c=5
　　　-3d-b+c=6
　　　b-c+3d+6=0　・・・・・・・・・・・・(b)
またx=-1の時は極値なので、
f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(-1)=3-2a+b=0
　　　2a-b=3
　　　　b=2a-3=-6d-3 ・・・・・・・(II)

(a)に代入して、
2d^3+3d-2ad-c-11=0
2d^3+3d+6d^2-c-11=0
2d^3+6d^2+3d-c=11　・・・・・・・(c)

(b)に代入して、
-6d-3-c+3d+6=0
　　　　　　c=-3d-3　・・・・・(ⅲ)

(c)に代入して、
3d^3+6d^2+6d=8

この先のdの値の出し方がよく分かりません。

(2)の解法は、
(1)の答えが出てないので
f(x)=x^3+4x^2-3x+2　とすると、
f'(x)=(3x-1)(x+3)
ここで増減表とグラフを書いて、
f(p)=5p, f(q)=5q　より、
p^3+4p^2-8p+2=0
q^3+4q^2-8q+2=0

というところまで考え付きます。
この先の計算が（p,qに代入して左辺が0になる値をx-値でくくる）
方法なら知っていますが±(2,1)/(±1)で試しましたが使えませんでした。

マナー違反失礼しました。