絶対値がわからない

質問

自分が理解しているはずの知識

絶対値は距離である。
距離だからマイナスにならない

問題

次の方程式を解け
|x-1|=3
解答
(1)
|x-1|=3=…(1)
(ⅰ)x-1>=0 ←→ x>=1のとき
(1)より
x-1=3
∴x=4 (これはx>=1を満たす)
(ⅱ)x-1<0 ←→ x<1のとき
(1)より
　-(x-1)=3
∴　x=-2(これはx<1を満たす)

ⅰ　ⅱ　よりx=-2,4

疑問
場合分けはなぜするのですか？
x-1>=0 ←→ x>=1のとき
x>=1←この1がどこから何のために出てきたのかわからない。

(これはx>=1を満たす)
この部分も何を言っているのかわからないです。

上手く説明できないですが、絶対値はピントの合わない眼鏡をしている感覚です。よければ教えてください。

回答No.7

oldmacfan · ベストアンサー

絶対値の定義をしっかり押さえましょう。
|x|は原点０から点xまでの距離を指します。←ここが大切です！

【例】
(1)　|5|=5　　←0から5までの距離=5だから
(2)　|-3|=3　 ←0から-3までの距離=3だから

ここで注意すべきことは(2)のように負の数の絶対値は負の数ではなくなると言うことです。

距離を表すためには-3に-1をかけて3をつくり、これが距離になるわけです。（機械的にただ－をつけるのではなく、－1倍して絶対値をはずすと考えてみて下さい。ここがポイントです^^）
このことに関しては大丈夫でしょうか？（たぶん大丈夫かと思います）

一般に
|X|は絶対値の中に入る符号を考えると２通りになります。

ア）X≧0のときには |X|=X　が言えます　←【例】(1)タイプ

イ）X＞0のときには、-1倍して絶対値をはずして、　|X|=X×(-1)=-X　となります←【例】(2)タイプ

以上が基礎です。それでは問題にいってみましょう。

【問題】　|x-1|=3　を解け。

まず絶対値の中にあるx-1はどんな数になったとしても、０以上であるか、負の数であるかのどちらかです。なので、この２通りで場合を分けます。

ア）絶対値の中身が０以上、すなわちx-1≧0すなわちx≧1（←-1を移行した）のときは、そのまま絶対値がはずれて x-1=3
これよりx=4 (-1を移行した）これはx≧1に適する（4≧1ですから）

イ）絶対値の中身が負、すなわちx-1≦0すなわちx≦1（←-1を移行した）のときは、絶対値の中身に-1倍して (x-1)×(-1)=-x+1としてはずし
-x+1=3
これよりx=-2 (-1を移行した）これはx≦1に適する（-2≦1ですから）

以上で説明が終わりです。何度も読み直せば必ずわかると思います。頑張って下さい。

補足

同じ要領で解いてみました

【問題】　|x-2|=2x　を解け。

まず絶対値の中にあるx-2はどんな数になったとしても、０以上であるか、負の数であるかのどちらかです。なので、この２通りで場合を分けます。

ア）絶対値の中身が０以上、すなわちx-2≧0すなわちx≧2（←-2を移行した）のときは、そのまま絶対値がはずれて x-2=2x
これよりx=-2 (-2を右辺に、2xを左辺に移行した）これはx≧2に適さない（-2≧2ですから）

イ）絶対値の中身が負、すなわちx-2<0すなわちx<2（←-2を移行した）のときは、絶対値の中身に-1倍して (x-2)×(-1)=-x+2としてはずし
-x+2=2x
これよりx=2/3 これはx<2に適する（2/3<2ですから）

このように解答にいたることができました。

回答No.10

tsuyoshi2004

あくまでも実数の範囲での話であれば、
|X|=√(X^2)
と同じことです。
なので、
|X-1|=3
√((X-1)^2)=3
両辺を二乗して(√((X-1)^2)≧0なので）、
(X-1)^2=9
(X-1)^2-9=0
(X-1+3)(X-1-3)=0
(X+2)(X-4)=0
よって、X=-2またはX=4
という解法もあります。
ただし、まあ面倒ですよね？
単純に絶対値の中が正か負かだけを考える方が単純でしょう。

補足

そのような方法もあるのですね。
心の隅に留めておきます。
ありがとうございます。

回答No.9

staratras

>絶対値は距離である。
距離だからマイナスにならない

というご理解であれば、もう一歩進めて数直線を考えて
｜x-1｜は「xから+1までの距離を表す」ついでにいえば
｜x｜は｜x-０｜で「xから原点０までの距離を表す」
｜x+1｜は｜x-(-１)｜で「xから-1までの距離を表す」と考えてみてはどうでしょうか。数学の理解の仕方には個人差がありますが、一般的には数直線やグラフなど視覚に訴えるものを活用した方が分かり易いからです。

つまり、｜x-１｜=３　は数直線上でxから+1までの距離が３である点xはどこか？と考えるのです。
明らかに右左２つあって、+1より大きい方（数直線上では右側）のxは、x=+1+3=4、+1より小さい方（数直線上では左側）のxは、x=+1-3=-2ですね。

ここで絶対値記号｜　｜の中がプラスかマイナスかを考えれば、x≧１ならx-1≧０(数直線上で+1より右側のとき、ただし+１も含む）、x<１ならx-1<０(数直線上で+１より左側のとき）です。
これと「絶対値はマイナスにならない」と言うことを合わせて考えれば、これまでの回答で説明されているように、絶対値記号を外すさいには絶対値記号の中が正か負かによって、場合分けが必要であることが分かると思います。

回答No.8

oldmacfan

すみません下から２行目は記載ミスでした。

これよりx=-2 (1を移行してxを求めた）

として下さい。

回答No.6

adhd-

今すぐ家出をして、北か南に進んでください。
北に進みますか？南に進みますか？何キロ進みますか？

何キロか適当に進んだ後、立ち止まって、
そこからさらに、南に１キロ進んでください。

するとその場所は、家から３キロの距離のところでした。
さあ、最初に家出をして進んだのは、北か南か？家から何キロでしょうか？

考えてみると、「家から３キロの距離」には、北に３キロと南に３キロの２通りがあることに気づきませんか？
これが、場合分けをする理由です。
想像できない場合は、ぜひ家出をしてみることを、おすすめします。

回答No.5

proto

＞なぜ正の時と負の時の場合分けを考えなければならないのですか？
＃1の方の解答をしっかり理解すれば答えは出ているはず。

＃1の解答にある、
＞絶対値の中身が負なら絶対値の前に-をつけて外す。絶対値の中身が正なら＋をつけて外す。
これを自分で計算してみてください。

|3|を考える。絶対値の中身3は正だから+をつけて(そのまま)外す。
　　|3| = 3
別のパターン、|-2|を考える。絶対値の中身-2は負だから-をつけて外す。
　　|-2| = -(-2) = 2
これらを理解できますか？
もしも、絶対値の中が正なのに-をつけてしまったり、絶対値の中が負なのにそのまま外してしまうと大変なことになる。
具体的には
　　|3| = -3
　　|-2| = -2
というようなことになる。これではいけないということがわかりますか？

絶対値を外すとき、中の正負をしっかり見極めてから外さなければいけません。
しかし、|x-1|はxの値によって中の符号が正にも負にもなる、だから中身が正の時にはとか負の時にはと場合分けしなければいけない。
場合分けせずに適当に外すと|3|=-3のようなことになる。

＞絶対値は距離である。
＞距離だからマイナスにならない。
これは絶対値の意味なのですが、この理解は実践向きではないのですよ。
というか、数学的にはこれだけでは曖昧なのです。
距離であるって言われても、じゃあ"距離"って何よ？と言うことになります。
できるだけ日本語的な表現を排除して定義する方が明確です。

ですから、絶対値の"意味"としては今のまま覚えていて結構ですが、絶対値の"定義"は次のように覚えてください。
x>0のとき、
　　|x| = x
x<0のとき、
　　|x| = -x
x=0のとき
|x|=xでも|x|=-xでも結果は同じだからどっちでも好きな方を使って良い
この定義は実践向きです。
問題の意味を考えたいときには絶対値の意味を思い出しましょう。問題を実際に解きたいときは、この絶対値の定義を思い出しましょう。

＞x-1>=0 ←→ x>=1のとき
＞x>=1←この1がどこから何のために出てきたのかわからない。
先ほども書いた、実践向き絶対値を外すための下準備として|x-1|の中身であるx-1の正負で場合分けをします。
正の方から先に考えるとして、(負の場合から考えたいならそうしても良い、どっちでも良い)
　　x-1 > 0
の場合を考えることにします。
手始めにx-1>0を軽く変形してみました。不等式の移項の仕方覚えてますよね？
　　x-1 > 0
　　x > 1
はい、1が出てきました。どこから出てきたかと聞かれてもx-1から出てきたとしか言えませんね。

＞(これはx>=1を満たす)
＞この部分も何を言っているのかわからないです。
|x-1|の絶対値を外すとき、x-1が正だったらそのまま外せるから、x-1>0のときに限定して考えよう、と話を進めています。
ですが出てきた答えがx-1>0を満たさない場合もあり得ます。
そういうときには、x-1>0の場合に限定して話してんのに、条件に合わない答えが出てきても意味無いよというわけで、その答えは捨てます。理由は"条件に不適"です。

試しに
　　|x-1| = -1
を解いてみてください。
最初に場合分けをして絶対値を上手に外してくださいね。
中身が正ならそのまま、負なら-をつけてです。

ですが、ちゃんと場合分けしても、条件に当てはまる答えは出てこないと思います。
一応求まる答えを元の式に当てはめてみても成り立たないでしょう？
条件付きの条件に当てはまらない答えしか得られないと思います。
この方程式の答えは解無しです。
そういう事もあるので、場合分けだけで安心せずに最後にチェックしないといけないのですよ。

補足

絶対値を外すとき、中の正負をしっかり見極めてから外さなければいけません。
しかし、|x-1|はxの値によって中の符号が正にも負にもなる、だから中身が正の時にはとか負の時にはと場合分けしなければいけない。
場合分けせずに適当に外すと|3|=-3のようなことになる。

この部分がよく理解できました。
xが2だとしたら、2-1=-1で絶対値の中身は負
xが4だとしたら、4-1=3で絶対値の中身は正に

だから正と負の場合分けを行わないといけない。

不等式の定義や移行について怪しいので
もう一度戻って定義を頭に入れてきます。

丁寧にありがとうございます。
頑張ります。

回答No.4

info22

>自分が理解しているはずの知識

>絶対値は距離である。
>距離だからマイナスにならない

だから、大きい方から小さい方を引く
　　　（するとマイナスにならない）

を知識に追加して覚えて下さい。
すると疑問が解決するはずです。

> 場合分けはなぜするのですか？
> x-1>=0 ←→ x>=1のとき
> x>=1←この1がどこから何のために出てきたのかわからない。

|x-1|　これは

「x」 と 「1」
の大きい方から小さい方を引いた値が絶対値の値ですね。

「x」 と 「1」のどちらが大きいかを調べなければ
大きい方と小さい方が決められませんね。

従って 「x」 と 「1」の大きさを比較して
場合を分けてやる必要がでてくるのです。

x＞1
x＝1　　…この場合は上の場合に含めても構いません
x＜1

上から
x＞1　の場合は　「x」 の方が 「1」より大きいので
(x=1) 　|x-1|=x-1　これが距離で　右辺の3に等しくなるわけ
　　　　x-1 = 3 →　x=4　（＞1です）

x＜1 の場合は 「1」 の方が 「x」より大きいので
|x-1| = 1-x　これが距離で　右辺の3に等しくなるわけ
　　　　1-x = 3 →　x = -2　（＜1です）

というように「大きい方から小さい方」を引けば絶対値がはずれつわかです。
大きい方と小さい方を引くために場合分けが必要になるわけですね。

おわかりでしょうか？

回答No.3

banakona

実数で考えることにします。

３の絶対値は？　　３
－３の絶対値は？　３

恐らくこれは問題ないでしょう。あなたにとっては「符号を取る」という同じ行為かもしれませんが、実は違う行為をしています。

「３の絶対値」の場合はそのまま。
「－３の絶対値」の場合は、－１を掛けている。

ではどういう場合に－１を掛けるのか。それは絶対値の中がマイナスのときです。

絶対値の中がマイナスなら－１を掛ける。
絶対値の中がプラスまたは０ならそのまま。
という「場合分け」を無意識にやっていることになります。

これは絶対値の中が式の場合も同じで、場合分けが必要になるわけです。

回答No.2

bgm38489

>>絶対値は距離である。距離だからマイナスにならない
う～ん、言い得て妙。絶対値とは、数直線で考えると、０の地点からの距離なのです。だから、－３の絶対値は、－３の０からの距離で、３。
ちょっと、解答とは考え方が異なりますが（結局は一緒だけど）、
ｘ－１の絶対値が３ということは、ｘ－１自体は３、－３のどちらかなのです。
ｘ－１が３のときは、正の値のため、ｘ－１＞０。即ち、ｘ＞１。これは、絶対値から読み取れる正の値をとってみたけど、そのときの条件は
ｘ＞１やぞ、てことです。答えが１以下の数になってしまったら、その答えは不適切。もう一つの負の値を取った場合も同じように検討しています。
－（ｘ－１）＝３とするよりは、（ｘ－１）＝－３とした方がわかりやすいと思いますがね。
僕なりの解答を書くと、
与式より、
ｘ－１＝３（ｘ－１＞＝０、即ちｘ＞＝１のとき）…(2)
または
ｘ－１＝－３（ｘ－１＜０、即ちｘ＜１のとき）…(3)
(2)より、ｘ＝４（これはｘ＞＝１を満たす）
(3)より、ｘ＝－２（これはｘ＜１を満たす）
∴ｘ＝４、－２

回答No.1

happy2bhardcore

絶対値の計算方法
絶対値の中身が負なら絶対値の前に-をつけて外す。絶対値の中身が正なら＋をつけて外す。

これだけです。

なので｜x - 1｜=3を計算するときは、絶対値の中身x-1が正になる場合と負になる場合に分けて考えます。

前者の場合、中身が正なのでそのまま外して x-1 =3 を解く
後者の場合、中身が負なので絶対値の記号に-をつけて外し -(x-1) =3を解く

補足

回答ありがとうございます。

なぜ正の時と負の時の場合分けを考えなければならないのですか？

途中式の満たすとは何を伝えたいのですか？