2次不等式の場合わけ

質問

問題 aは定数とする。次の方程式を解け。
（a-1)x²-(a²-a)x+1-a=0

解答では、 （a-1）(x-1){(a＋1)x＋1}=0 として、 a-1≠0かつa＋1≠0のとき、a=1のとき、a=-1のときで場合分けしていたのですが、なぜそうなるのか理解できません。どうしてこういう風に場合分けするのですか？

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

（a-1)x²-(a²-a)x+1-a=0
ではなくて
（a²-1)x²-(a²-a)x+1-a=0…①
ではありませんか？
①だとすると
x²の係数は
(a²-1)＝(a+1)(a-1)でこれが0になると
①は二次方程式ではなくなってしまうので
(a²-1)＝(a+1)(a-1)＝0となる場合
すなわち
a＝-1となる場合
a＝1となる場合
及び①が二次方程式となる
(a²-1)＝(a+1)(a-1)≠0の場合
つまり、(a+1)≠0かつ(a-1)≠0の場合
と言うように場合分けしてるわけです

また、（a-1）(x-1){(a＋1)x＋1}=0 …②
こちらの式を見て判断するなら
a＝1だと
0(x-1){(2x＋1}=0
より、与えられた方程式は
すべてのxで成り立つ事になりますし
a＝-1だと②は-2(x-1)＝0となり
二次方程式でなくて一次方程式となりますし
(a+1)≠0かつ(a-1)≠0の場合は②は二次方程式を解くために因数分解を行った形となりますから
三つに分類できる事になります

補足

（a-1)x²-(a²-a)x+1-a=0
ではなくて
（a²-1)x²-(a²-a)x+1-a=0…①
ではありませんか？
→すみません、打ち間違えました。正しくは（a²-1)x²-(a²-a)x+1-a=0です

回答No.2

Higurashi777

（a-1）(x-1){(a＋1)x＋1}=0 ですから、a=1のときはxの値にかかわらず無条件で0ですよね。
同様にa=-1のときは(a＋1)x=0ですから、与式は((-1)-1)(x-1)=0となりxの値は一意に決まります。

すなわち、a=1のとき、もしくはa=-1のときはxの値は一意に決定します。
それ以外、すなわち a-1≠0かつa＋1≠0の場合について与式を解けば良い、ということになります。

以上、ご参考まで。