絶対値があるときって

質問

C:y=1/2|x(x-7)|上の点(3,6)における接線をlとし、C,ｌによって囲まれる部分の面積の和を求めよ。

この問題なんですが、接線の方程式を使ってlの方程式をy=1/2x+9/2と求めました。
「C,lによって囲まれる部分の面積の和」とは、どの範囲の面積を求めればよいのでしょうか？
絶対値がある方程式なので、Cのグラフは負の部分を折り返した形にして、交点を求めて積分してみましたが、答えと合いませんでした。

どこか間違っているところがあるかもしれませんが、この問題の解き方のヒントをください。お願いします。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

求める領域は、こんな感じです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■.■
　　　　　　　　　　　　　　　　　■■..■
　　　　　　　　　　　　　　　　■■....■
　　　　　　　　　　　　　　■■■.....■
　　　　　　　　　　　　　■■■■....■
　　　　　　　　　　　■■■■■...■　
　　　　　　　　○■■■■■■..■　
　　　　　　　■　　　■■■■...■　　　
　　　　　　■　　　　　■■■...■　　　　　
　　　　■■　　　　　　■■...■　　　　　　　
　　■■■　　　　　　　■■■　　　　　
　　　■■　＜Ｓ１＞　　■■　　　　　　　　　　
　　　　■　　　　　　　　　■　
－１　　０　　（３）　　　　　７　　　　　９

　　　　　　　＜Ｓ１＞

f(x)=(1/2)x+(9/2)
g(x)=(1/2)((x^2)-7x),,,h(x)=-(1/2)((x^2)-7x)

2{f(x)-g(x)}=-(x^2)+8x+9
2{f(x)-h(x)}=(x^2)-6x+9

＃　地道に３分割すると、

2S=∫[-1,0] 2{f(x)-g(x)}dx
　　　+∫[0,7] 2{f(x)-h(x)}dx
　　　　+∫[-1,0] 2{f(x)-g(x)}dx

2S=∫[-1,0] {-(x^2)+8x+9}dx
　　　+∫[0,7] {(x^2)-6x+9}dx
　　　　+∫[7,9] {-(x^2)+8x+9}dx

2S=[-(1/3)(x^3)+4(x^2)+9x][-1,0]
　　　+[(1/3)(x^3)-3(x^2)+9x][0,7]
　　　　+[-(1/3)(x^3)+4(x^2)+9x][7,9]

2S={0}-{(1/3)+4-9}+{(343/3)-147+63}-{0}
　　　　+{-243+324+81}-{-(343/3)+196+63}
　　=(685/3)-176
　　=(685/3)-(528/3)=157/3

S=157/6
------------------

＃＃　さすがに、計算量が多いので、上図で
上の＜Ｓ１＞と、下の＜Ｓ１＞は等しいので、
－１から、９まで積分して、２Ｓ１を引いた方が良さそうです。
すなはち、

S=∫[-1,9]{f(x)-g(x)}dx－２Ｓ１
　=∫[-1,9] (1/2){-(x^2)+8x+9}dx}dx
　　-2∫[0,7] (1/2){(x^2)-6x+9}dx

この場合にも、
準公式、（面積）＝｜a{(α-β)^3}/6｜を使用して、

∫[-1,9] (1/2){-(x^2)+8x+9}dx}dx=(10^3)/12
2∫[0,7] (1/2){(x^2)-6x+9}dx=(7^3)/6

S={(10^3)/12}-{2(7^3)/12}
=(1000-686)/12=314/12=157/6 と検算できると・・・。

お礼

回答ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです！

回答No.5

kkkk2222

ANo.4です。訂正。下の箇所で、

S=・・・
　=・・・
　　-2∫[0,7] (1/2){(x^2)-6x+9}dx
　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　-2∫[0,7] (1/2){-(x^2)+7x}dx
ーーーー

2∫[0,7] (1/2){(x^2)-6x+9}dx=(7^3)/6
　　　　　　　　　　　　　↓
2∫[0,7] (1/2){-(x^2)+7x}dx=(7^3)/6

回答No.3

NY5

図を書いていないなら、書きましょう。
ある程度の図ができていれば、どの部分の面積を求めればいいかがわかると思います。

で、まず、Cとｌの接点のx座標を求めます。y座標はの求めなくてもいいと思います。すると、求めるx座標は、x＝-1、9となるはずです。

図より、
[-1,0]、[7,9]において、被積分関数は(1/2x+9/2)-1/2{x(x-7)}、
[7,9]において、被積分関数は(1/2x+9/2)-[-1/2{x(x-7)}]
と
なるはずです。

あとは計算するのみです。

私が思うに、単なる計算間違いではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

postro

＃１です。
4分割しなくても、x軸で折り返した面積（の2倍）を引き算する。
などのアイデアがグラフから浮かんでくるかもしれません。
いずれにしてもきちんとグラフを描くことが先決ですね。

回答No.1

postro

考え方はOKだと思います。
グラフをきちんと描いて考えればいいのではないでしょうか。
積分は、求める面積を4分割してコツコツ計算することになると思います。

お礼

回答ありがとうございました。