二次方程式の解の絶対値二つともが1未満のとき

質問

「x^2+ax+a=0 が異なる二つの実数解を持ち、その絶対値がいずれも1未満のとき、実数aの範囲を求めよ」という問題があり、私は
二つの解の絶対値がいずれも1未満より、この方程式の解α、βについて
-1<α<1 -1<β<1がいえる
これと、解と係数の関係より
α＋β=-a　　かつ　　αβ=a　つまり
-2<a<2 かつ -1<a<1、つまり-1<a<1である・・・(1)

ここで、与えられた方程式は、二つの異なる実数解を持つので判別式をDとすると
D=a^2-4a　であるから
a^2 - 4a >0　つまり
0>a a>4 である…(2)

(1),(2)を同時に満たすaの範囲は-1<a<0

と、といたのですが、解答書では、f(x)=x^2+ax+aと置いて題意を満たすグラフを書いて
そうなるための条件を満たすaを求めると言う解放で
-0.5<a<0 となっていました

解答書の解法は理解できるのですが、私の解法で、不備な点はどこでしょうか？
教えてください！

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

＞-2<a<2　は良いが、-1<α<1 -1<β<1　の条件から、1-＜a＝αβ＜1　となるところが間違い。

この解法でやるなら。。。。。

-1<α<1 -1<β<1　→　α-1＜0　β-1＜0、α＋1＞0　β＋1＞0　。
和と積を計算すると、-2＜α＋β＜2　（α-1）*（β-1）＞0　（α＋1）*（β＋1）＞0　としなければならない。
その上で、α＋β=-a　αβ=a　を使うだけ。

回答No.4

mister_moonlight

＞私の解法で、不備な点はどこでしょうか？
＞α＋β=-a　　かつ　　αβ=a　つまり-2<a<2 かつ -1<a<1、つまり-1<a<1である・・・(1)

つまり-2<a<2 かつ -1<a<1、のここが駄目。
-2<a<2　は良いが、-1<α<1 -1<β<1　の条件から、1-＜a＝αβ＜1　となるところが間違い。

xの条件が“挟まれる値の範囲”の時は、解と係数を使わない方が（使っても解けるが）良い。
xの値を具体的に求める解法は最悪なのでやめたら良い、回答者も。。。。ｗ

（解法-1）

f(x)=x^2+ax+a＝0において、判別式＞0、f(1)＞0、f(-1)＞0、｜軸の位置｜＜1　として解く。

（解法-2）

x^2＝-a（x＋1）と変形して、放物線：y＝x^2　のグラフと、直線：y＝-a（x＋1）が｜x｜＜1で異なる2点で交わる直線の傾き＝-aの条件を求める。

回答No.3

nag0720

(1)の　-1<a<1　は必要条件であって十分条件ではありません。
(2)の　0>a, a>4　は 二つの異なる実数解を持つための条件です。

この(1)と(2)だけでは、-1<α<1 , -1<β<1　が成立するとは言えません。

-1<α<1 , -1<β<1　であるためには、
-1<-a±√(a^2-4a)<1
が成立する必要があります。

回答No.2

koko_u_u

>私の解法で、不備な点はどこでしょうか？

「逆に～」が足りない。

回答No.1

himajin100000

この解法ってさ、必要条件の範囲を絞ってから、絞った範囲の中から答えを吟味して、検算ってタイプだよね？

α = 1.2
β = -0.3
のとき

-1 < α + β = 0.9 < 1
-1 < αβ = -0.36 < 1

絞れてない

#うぅ、うまく回答かけてないけど許して。