絶対値を含む一次方程式

質問

下記の問1、問2の問題について教えてください。
問1 |x+4|=5x
解答にはx≧-4、x<-4で場合分けしていますが、なぜでしょうか？

問2 次の方程式を解け
|x-1|+|x-2|=x
解答にはx<1、1≦x<2、2≦xのときで場合分けしてあるのですが、
なぜそのように場合分けするのでしょうか？
上記の2つ問題を解くとき、どのような手順で考えればよいのでしょうか？
教えてください。
※答えは問1はx=1、問2はx=1,3となっています。

回答No.5

yyssaa

絶対値 |Ｘ|は、Ｘの正負に関係なく、その大きさのみを表す記号です。
式で書けば、Ｘ≧０の時 |Ｘ|＝Ｘ
　　　　　　　　Ｘ＜０の時 |Ｘ|＝ーＸ
になり、これが|Ｘ|の定義（約束事）です。
従って問１では| |の中のx+4がx+4≧０の時、すなわちx≧-4と
x+4＜０時、すなわちx<-4とに場合分けしています。
解き方は
x≧-4の時はx+4≧０ですから絶対値の定義より|x+4|はx+4になり、
|x+4|=5xはx+4=5xになります。これを解いてx=1が得られます。
今はx≧-4が条件であり、x=1はこの条件に合っていますから答えに
なります。
次にx<-4の場合です。この場合はx+4<0ですから絶対値の定義より
|x+4|は-(x+4)になり、|x+4|=5xは-(x+4)=5xになります。
これを解いてx=-2/3が得られますが、今はx<-4が条件であり、
x=-2/3はこの条件を満たしていないので答えにはなりません。
従って問１の答えはｘ＝１ということになります。

同じように問２では
x-1≧０・・・・(ア)の時、x-1＜０・・・・(イ)の時
x-2≧０・・・・(ウ)の時、x-2＜０・・・・(エ)の時に場合分けして考えますが、
(ア)はx≧1、(イ)はx＜1、(ウ)はx≧2、(エ)はx＜2ですから、
(ア)と(エ)をまとめて書くと1≦x<2、それに(イ)と(ウ)を加えて
x<1、1≦x<2、2≦xのように場合分けしています。
まずx<1の場合を考えます。この場合はx-1<0、x-2<0(何故なら
x-1<0の両辺から1を引くとx-1-1<0-1<0すなわちx-2<0)ですから、
絶対値の定義より|x-1|+|x-2|=xは-(x-1)-(x-2)=xになり、
これを解くとx=1が得られますが、今はx<1が条件であり、
x=1はこの条件を満たしていないので、今は答えにはなりません。
次に1≦x<2の場合を考えます。この場合はx-1≧0、x-2<0
ですから、絶対値の定義より|x-1|+|x-2|=xは(x-1)-(x-2)=xになり、
これを解くとx=1が得られます。今は1≦x<2が条件であり、x=1は
この条件に合っていますから、ここではx=1は答えになります。
最後に2≦xの場合を考えます。この場合はx-1＞0、x-2≧0ですから、
絶対値の定義より|x-1|+|x-2|=xは(x-1)＋(x-2)=xになり、
これを解くとx=3が得られ、今は2≦xが条件であり、x=3はこの条件に
合っていますから答えになります。
以上より問２の答えはｘ＝１とｘ＝３ということになります。

回答No.4

info22_

この種の問題は絶対値のグラフを書いて考えると簡単に解け
かつ間違いをなくすことができます。是非ものにしておくと良いでしょう。場合分けもどのxの値のところで、何故しないといけないか、図的に
把握しやすくなると同時に、絶対値方程式も簡単に解けます。
参考URL参照
URL:http://homepage3.nifty.com/fum_s/math1-6/math1-6-1.html

問1
添付グラフは |x+4|=5xの
左辺のグラフy=|x+4|
と右辺のグラフ　y=5x
を描いたもので２つのグラフの交点(1,5)のx座標x=1が絶対値方程式の答になります。
場合分けは絶対値グラフの折れ目（|x+4|=0,x=-4の所）で行います。
つまり、x<-4,x=-4,-4<xで場合分けします（等号は前後のどちらかの不等号に含めるのが普通です）。

問2
添付グラフは |x-1|+|x-2=x の
左辺のグラフy=|x-1|+|x-2|
と右辺のグラフ　y=x
を描いたもの(黒実線)で２つのグラフの交点(1,1)と(3,3)のx座標x=1とx=3が絶対値方程式の答になります。
y=|x-1|+|x-2|のグラフは
y=|x-1|のグラフ(水色実線)とy=|x-2|のグラフ(赤実線)を図的に（yの値を）足し合わせたのが左辺のグラフy=|x-1|+|x-2| になります。

場合分けは絶対値グラフの折れ目（|x-1|=0,x=1の所と|x-2|=0,x=2の所）で行います。
つまり、x<1,x=1,1<x<2,x=2,2<xで場合分けします（等号は前後のどちらかの不等号に含めるのが普通です）。

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/fum_s/math1-6/math1-6-2.html

回答No.3

ferien

絶対値とは、数直線上でいえば、原点（０）からある数までの距離のことをいいます。
例えば、｜５｜＝５、｜－５｜＝５です。
｜－５｜＝－（－５）＝５　と考えてもいいです。

絶対値のきまりは、a≧０のとき　｜ａ｜＝ａ　ａ＜０のとき　｜ａ｜＝－ａ　です。

>問1 |x+4|=5x
>解答にはx≧-4、x<-4で場合分けしていますが、なぜでしょうか？
絶対値がついているから、きまりを使って２通りに場合分けして考えます。

ｘ＋４≧０のとき、ｘ≧－４…（１）｜ｘ＋４｜＝ｘ＋４　だから、
ｘ＋４＝５ｘ　ｘ＝１　これは（１）の範囲にあるから、解になる

ｘ＋４＜０のとき、ｘ＜－４…（２）｜ｘ＋４｜＝－（ｘ＋４）
－（ｘ＋４）＝５ｘ　ｘ＝－２／３　これは（２）の範囲にないから　解にならない
よって、ｘ＝１

>問2 次の方程式を解け
>|x-1|+|x-2|=x
>解答にはx<1、1≦x<2、2≦xのときで場合分けしてあるのですが、
>なぜそのように場合分けするのでしょうか？
ｘ－１＜０のとき、ｘ＜１　｜ｘ－１｜＝－（ｘ－１）　
ｘ－１≧０のとき、ｘ≧１　｜ｘ－１｜＝ｘ－１
ｘ－２＜０のとき、ｘ＜２　｜ｘ－２｜＝－（ｘ－２）
ｘ－２≧０のとき、ｘ≧２　｜ｘ－２｜＝ｘ－２
これだけ用意して整理すると、
ｘ＜１のとき、
１≦ｘ＜２のとき、
２≦ｘのとき、に場合分けできる

ｘ＜１のとき…（３）
－（ｘ－１）－（ｘ－２）＝ｘ　ｘ＝１　（３）より、解にならない。
１≦ｘ＜２のとき…（４）
（ｘ－１）－（ｘ－２）＝ｘ　ｘ＝１　（４）より、解になる。
２≦ｘのとき…（５）
（ｘ－１）＋（ｘ－２）＝ｘ　ｘ＝３　（５）より、解になる。
よって、ｘ＝１，ｘ＝３

>上記の2つ問題を解くとき、どのような手順で考えればよいのでしょうか？
場合に分けて絶対値の式を整理してから、計算を始めるのがいいと思います。
場合によっては、解にならなかったりするので、答えを出すとき注意が必要です。

回答No.2

nananotanu

絶対値の中の値が正・0か負か、で分けているのです。

a>=0の時
|a|=a
a<0の時
|a|=-a

　　でしょ？最初に習う基本。

例えば、問1で言うなら

x≧-4の時は|x+4|=5xはx+4=5x、x<-4の時は|x+4|=5xは-(x+4)=5x てわけです。
　(例えばx≧-4は、x+4≧0からきているのね)

回答No.1

asuncion

＞問1 |x+4|=5x
＞解答にはx≧-4、x<-4で場合分けしていますが、なぜでしょうか？

それは、x=-4を境目にして、
|x+4|の表わす内容が変わるからです。

x≧-4のときは
|x+4|=x+4

x<-4のときは
|x+4|=-x-4