絶対値がなんなのか、さっぱりわかりません。

質問

|x|=x,-x
ということや
|x+3|=x+3,-x-3
ということはわかるのですが、たぶん。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=295764

｜X+1｜＋｜X-3｜とかの場合、
（１）X＜-1　（２）-1＜＝X＜3　（３）3＜＝X
に場合分けされますがよく理解できません。

x<-1はx+1をx=-1に移行したもののような気がしますし、
-1＜＝X＜3は、（１）にx=3を不等号つけて並べかえたもののようです。
（１）が|x+1|を利用しているのに（２）には｜X+1｜と｜X-3｜を使っています。なぜでしょう？

さらに、-1＜＝X＜3は以上（＜＝）やより以下（＜）になってたりします？？？
というわけで場合分けがどうやるものか？なんなのか？わかりません。

（３）は省略。

数直線にするや関数にして図に書き込むというのも読んだのですが、
イメージがわきません。

根本的にわかっていなくて、質問がむずかしいのですが、場合わけ
はどこでひっかりやすいのでしょうか？
わかりやすく教えてくださる方、絶対値とはなんなのか？、場合分けする方法
など教えてください。

回答No.7

kony0 · ベストアンサー

あっ、少しコメント不足かも。。。

(3)のところで、最終的に与式を「-(X+1)+(X-3)」と書くことはいかなる場合においても不可能、ということがいえてるわけです。

ちなみに、模範解答の場合わけの１つ「X>=3のとき」というのも、実はその奥に「このときは X+1>=0 かつ X-3>=0 だから・・・」というのを含んでいるわけです。

一緒にしてしまうのがしっくりこないとのことですが、#6に書いたような経緯があって、決して「X>=3のとき」というのは「片方だけを考えてる（もう片方は無視している）」わけではなくて「両方を考慮した結果、一緒にしてしまうと」「X>=3のとき」という場合わけが出現した、と考えていただければ。

お礼

やっとわかりました。やってみたら、「あり得ない」ことが
わかりました。
ほんとっに数学て奥が深いですね。ありがとうございました。

回答No.6

kony0

きっとすでに書かれていることと同じことになります。

|●|というのが、●と０の大小関係によって、＋●もしくは－●のいずれかに書けることが理解できていることを前提とします。

与えられている式｜X+1｜＋｜X-3｜が
(1)「+(X+1)+(X-3)」と書けるのは、X+1>=0 かつ X-3>=0のとき。
すなわち X>=3 のとき。
(2)「+(X+1)-(X-3)」と書けるのは、X+1>=0 かつ X-3<0のとき。
すなわち -1<=X<3 のとき。
(3)「-(X+1)+(X-3)」と書けるのは、X+1<0 かつ X-3>=0のとき。
この２つの不等式を同時に満たすXはありえない！
(4)「-(X+1)-(X-3)」と書けるのは、X+1<0 かつ X-3<0のとき。
すなわち X<-1 のとき。

というので納得できませんか？（特に(3)のあたり）

＃ただし、納得できた時点で、この考え方は捨ててください。
たとえば３つめの絶対値がついた式を考えるのに、「すべての場合」は８通りもありますが、結局模範解答どおりの考え（各絶対値の中身が０となる点を場合わけの基準点（境界点）とする方法）ならはせいぜい４通りの場合分けで事足りるわけですからね。

回答No.5

Mell-Lily

具体的に考えてみれば、分かり易いかもしれません。xが、
　-1000,-5,-1,0,2,50
など、いろいろな値をとるときの、
　|x+1|+|x-3|
の値を、それぞれ、計算してみてください。それから、場合分けについて考えてみれば、場合分けを理解する助けになるでしょう。

お礼

再回答ありがとうございます。まだ、本質が見えてないです。
いろんな数値を当てはめてどんな数値を取るか考えてみます。
またよろしくお願いします。

回答No.4

mmky

補足まで
(1)絶対値という考えは、＃2さんの説明のように大きさや数を表すものです。
数学では、考えに便利なように基準値を設けます。これを座標の原点とかいいますがこの基準値をいつもゼロにおき、基準値より左側（および下側）の数をマイナス表示し、右側（および上側）の数をプラス表示すると決めています。マイナスの数字は数学上の概念なので実際の数字（物理的な数）ではありません。そこで答えがマイナスの数字になるときは絶対値という考えを入れて、いつもプラスの数にしているのです。それが絶対値というものです。絶対値で数学量と物理量の整合性をとっているのです。
（余談：たとえば、東京から大阪までの距離は500Km、東京から青森までの距離が500Kmといいますが、数学の世界では、東京を基準点として大阪までの距離はマイナス500Km、東京から青森までの距離はプラス500Kmになります。これをもとの表現に戻すのが絶対値です。）

(2)場合分けの考え方
「｜X+1｜＋｜X-3｜とかの場合、
（１）X＜-1　（２）-1＜＝X＜3　（３）3＜＝X
に場合分けされますがよく理解できません。」
ということですが、数学での場合わけ考え方は、
基本的には、基準点がどこにあるかということです。
ひとつの式の場合、それぞれの場合で、
Y1＝｜X+1｜　としますと基準点はX=-1
Y2＝｜X-3｜　としますと基準点はX=3
この二つを足した式は基準点を２個持っていますね。
Y3＝｜X+1｜＋｜X-3｜
基準点は、　X=-1, 3 　の２個だから場合を分けるとすれば、
(1)　-1より小さい数　(2)－1より大きくて３より小さい数
(3)　３より大きい数
の三通りに分けることが出来ます。
ここで、数学は厳密ですのでもうひとつ考えることがあります。
（概念上の数は無限にありますが、-1や3という1個の数をどちらに
入れるかということを決める必要があるのです。これが数学が数学たる
ゆえんなのです。）
それは－1という数1個を(1)に入れるか(2)に入れるかということと
3という数1個を(2)に入れるか(3)に入れるかということです。
これを入れる場合にイコール（＝）を付けます。
入れ方は、特別な条件がなければ問題を作る人の自由です。
（ここではそうしておきます。）
例題では、
（１）X＜-1　（２）-1＜＝X＜3　（３）3＜＝X
ですので、数の－1を（２）に入れていますね。
3は（３）に入れていますね。
（1）には-1という数は入っていませんということで　
X＜-1　になっているわけです。
（２）は数の-1が入って、数の3は入っていない
-1＜＝X＜3　という表現になっていますね。

補足説明まで、理解できたかな？

お礼

(2)－1より大きくて３より小さい数

なんですが、まだここでつまっております。確かに数直線にするとわかるのですが、一緒にしてしまうのがどうもしっくりきてないんです。

もしかしたらもういっこの概念として、かかれてあるかもしれないのですが、
意外とむずかしいです。
またご教授頂けると幸いです。

回答No.3

ticky

以下、正負（＋－）について話をしますが、簡単にするために、正（＋）には０も含むことにします。

絶対値は、原点からの距離です。
x<0 のとき |x|=-x というのは、x が負だから、原点からの距離（正の数）に直すために、「-」をつけているだけです。

|x+3| を例にとって考えると、x+3>=0 の時は、x+3 は正ですから、そのままで原点からの距離を表すことになります。
x+3<0 のときは、x+3 が負なのですから、そのままでは距離を示すことにはならないので、「-」をつけて正になおします。

|x+1|+|x-3| については、まず、１．x+1 が正の場合(x+1>=0)、x+1 が負の場合(x+1<0)、２．x-3 が正の場合(x-3>=0)、４．x-3 が負の場合(x-3<0)、に分けることができます。
１、２をそれぞれ言い換えると、１．x が -1 以上（x>=-1）、x が -1 未満（x<-1）、
２．x が 3 以上（x>=3）、x が 3 未満（x<3）となり、小さい方から並べると、
１．x<-1、-1<=x、２．x<3、3<=x、となります。１，２の場合分けで重なっているところがありますね。x が -1以上で、同時に 3 未満であることがあり得ます（-1<=x<3）。
だから、x<-1、-1<=x<3、3<=x と場合分けします。

お礼

小さい順に並べると場合わけのところわかってきました。

補足頂けると幸いです。

-1<=x<3のパターンについて。数直線にすると明らかに
x が -1以上で、同時に 3 未満であることがありえました。

それで納得したのですが、こんなふうにも考えてみました。

すべての場合（４パターン）を計算してみたのです。
２つは、省略します（2x-2 と-2x+2）。

-1<=xのとき、-(x+1)+(x-3)=-4
x<=3のとき　(x+1)-(x-3)=4
（→あってるか自信なし）

という答えが出ました。-4ではなく4が出ると思ってたのですが、
この－４は答えではないですが、なぜだめなんでしょう？

回答No.2

Mell-Lily

何か難しく考えてしまっているようですね。

絶対値とは、つまり、”大きさ”のことです。例えば、数直線で、原点0から点-4まで線分の長さは、4ですね。このことを、
　|-4|=4 … (1)
と表します。また、原点から点4までの線分の長さも、当然、4ですから、
　|4|=4 … (2)
です。(1),(2)より、
　|4|=|-4|=4 … (3)
となります。これを、一般的に考えれば、
　x≧0ならば|x|=x、x<0ならば|x|=-x … (4)
となります。

|x+1|や|x-3|の場合も同じです。(4)を用いれば、
　x+1≧0ならば|x+1|=x+1、x+1<0ならば|x+1|=-(x+1)
です。すなわち、
　x≧-1ならば|x+1|=x+1、x<-1ならば|x+1|=-x-1 … (5)
です。また、
　x-3≧0ならば|x-3|=x-3、x-3<0ならば|x-3|=-(x-3)
です。すなわち、
　x≧3ならば|x-3|=x-3、x<3ならば|x-3|=-x+3 … (6)
です。(5),(6)より、
　x<-1ならば|x+1|+|x-3|=-x-1-x+3=-2x+2、-1≦x<3ならば|x+1|+|x-3|=x+1-x+3=4、x≦3ならば|x+1|+|x-3|=x+1+x-3=2x-2
となります。

お礼

やはり絶対値は数直線なのですね。絶対値わかりました。
まだ、場合わけでなやんでおります。またご教授頂けると幸いです。

回答No.1

TK0318

絶対値そのものはわかっていらっしゃいますよね？
絶対値の中が正ならばそのまま、負なら符号を変えます

例
|4|=4
|-5|=5

まずここからいきましょう。
|x|
ここで
x<0なら絶対値の中は負になりますので-x
x>=0なら絶対値の中は正なのでx
になります。
０はどっちでもいいのですが大抵は正側にします。

次に|x+1|を考えてみましょう。
このとき
x<-1なら絶対値の中は負ですので-(x+1)
x>=-1なら絶対値の中は正ですのでx+1
同じように|x-3|を考えると
x<3なら絶対値の中は負ですので-(x-3)
x>=3なら絶対値の中は正ですのでx-3
となります。

さてここで本題の
｜X+1｜＋｜X-3｜
を考えてみましょう。絶対値があると計算できないので外さないといけません。先ほど考えたように左側は
x<-1なら絶対値の中は負ですので-(x+1)
x>=-1なら絶対値の中は正ですのでx+1
右側は
x<3なら絶対値の中は負ですので-(x-3)
x>=3なら絶対値の中は正ですのでx-3
となります。
このことを組み合わせると
１　x<-1なら|x+1|,|x-3|の中身は両方とも負ですので
-(x+1)-(x-3)=-2x+2
２　-1<=x<3なら|x+1|の中身は正、|x-3|の中身は負ですので
(x+1)-(x-3)=4
３　3<=xなら|x+1|,|x-3|の中身は両方とも正ですので
(x+1)+(x-3)=2x-2

となります。
分からなかったら補足に書いてください。

お礼

絶対値そのものに関してはわかりました。
あと場合分けもわかってきたのですが、もうちょいなんです。＃３のお礼欄
に書いてありますが、またご教授頂けると幸いです。