数学I 絶対値を含む方程式

質問

御世話になっております。

絶対値を二つは含む方程式。
|x+2|-|x-1|=3x についてですが、

まず、それぞれの場合について考えて、絶対値記号を外しますと

|x+2|は、x+2(x≧-2)か -x-2(x＜-2)

|x-1|は、x-1(x≧1)か -x+1(x＜1)

となりますが(に違いない)、この後の場合分けがどのように求めているのかが解りません。数直線を使って四つの場合の包含範囲を得るのでしょうか。

引き続きトライしますが、アドバイスいただけると助かります。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

解法１
|x+2|=0とする x=-2
|x-1|=0とする x=1
を数直線上に描いて、この２点で区切られる３つの範囲
x<-2, -2≦x≦1, 1<x
に場合分けして考えればいいです。

x<-2の時
　|x+2|=-(x+2),|x-1|=-(x-1) なので与絶対値方程式は
　-x-2+(x-1)=3x → x=-1 場合の条件を満たさないので解なし

-2≦x≦1の時
　|x+2|=x+2,|x-1|=-(x-1) なので与絶対値方程式は
　x+2+(x-1)=3x → x=1 これは場合の条件を満たすので解

1<xの時
　|x+2|=x+2,|x-1|=x-1 なので与絶対値方程式は
　x+2-(x-1)=3x → x=1 場合の条件を満たさないので解なし

３つの場合をまとめると　x=1 が答えになります。

解法２
グラフ的に解く図的解法です。
添付図を見てください。

y1=|x+2|(水色実線のグラフ)
y2=|x-1|(紫実線のグラフ)
y3=y1-y2(黒実線のグラフ)
y4=3x　　(赤実線のグラフ)

を描くと図のようになります。
与絶対値方程式の解は
y3とy4のグラフの交点A(1,3)のx座標「x=1」
として求まります。

お礼

質問の後、自分でも絶対値に関して穴が無いかと一通りやり直したら、よく解りました。 正直皆様のご回答すらよく解りませんでしたが、やってみると、info22_様のご回答が非常にうまく説明されていると解りました。図まで引用して下さり、有り難いです。
もっと粘り強く数学に歩み寄ろうと思います

回答No.3

mesenfants

場合分けをするときの気持ち（心の持ちようとでもいいますか）を述べてみます。
絶対値がいくつもあると（絶対値の中に絶対値があったりすればなおのこと）怖ろしげな感じがするものです。

まず、Ｘの値だけが問題なのですから（yがない）、
Xの値が左から右に増えていく直線をノートに引きます。（y軸のないX軸だけの座標）

その数直線上の「どのあたり」が与式を満たすのかを考えるだけです。
であるなら、絶対値の「分岐点」はこの場合「＋１」と「－２」ですから、
その「点」を先の数直線上に打ち込んで、
「－２」より左側の領域、
「－２」と「＋１」とにはさまれた領域、
「＋１」より右側の
「３つ」に分けます。

絶対値が３つあれば、４つに分けれことになります。
これは不等式でも同じです。

応用として、たとえば、

y＝｜X＋２｜＋｜X＋１｜＋｜X－１｜＋｜X－２｜＋｜X－３｜

は、６つに場合分けされ、グラフをかくと左から順に傾きが「－５」「－３」「－１」「＋１」「＋３」「＋５」の６つの線分（左右両端は半直線）がつながったもので、
X＝１のときが最小値「８」（頂点？）になる「ぎざぎざの放物線」のようになります。

お礼

グラフにすることが基本なのですね

ありがとうございました。参考にさせていただきます

回答No.1

spring135

x<=-2
-2<x<1
1<=1

の場合に分けて絶対値を外したものを計算すればよい。

y=|x+2|-|x-1|

y=3x

のグラフの交点として解を求めてもよい。

お礼

参考に致します。ご回答感謝します。