絶対値つき方程式 |2x^2+2ax-1|=|x^2-1| の解の個数

質問

絶対値つき方程式　|2x^2+2ax-1|=|x^2-1|　の解の個数を求めよ。

解答は、2x^2+2ax-1=±(x^2-1)と絶対値をはずして、a={±(x^2-1)-2x^2+1}/(2x)として、
グラフの交点の数が、解の個数になるという解法でしたが、1つ分からないのは、絶対値をはずすとき
は、絶対値の中がプラスなのかマイナスなのかの条件がつくはずだと思うのですが、また、これによって
ｘの範囲の条件が付くのでこれに伴いグラフもかわってくると思います。解答ではそこのところについてふれられていないので、絶対値をはずすときの条件はいらないのか、もしいらないとしたら、どうしてグラフに影響しないのか教えてください。
もう少し、具体的に言うと、2x^2+2ax-1=±(x^2-1)　となるのは、(2x^2+2ax-1>=0,x^2-1>=0)または、(2x^2+2ax-1=<0,x^2-1=<0)の条件が付き、このもとでのグラフをかかなければならないと思うのですが・・。よろしくおねがいします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞絶対値をはずすときは、絶対値の中がプラスなのかマイナスなのかの条件がつくはずだと思うのですが

簡単のために、2x^2+2ax-1＝mとしよう。
そうすると問題は、|m｜=|x^2-1|　となる。

君の言うように処理してみよう。

(1)　m≧0の時、m=|x^2-1|　から、m=x^2-1、or、1-x^2
(2)　m≦0の時、-m=|x^2-1|　から、-m=x^2-1、or、1-x^2　つまり、m=1-x^2、x^2-1。
となって、m≧0とm≦0の場合わけは、不要になる。
つまり、解答にあるように、初めから　m=±(x^2-1)で良いという事になる。

お礼

回答ありがとうございます。
m≧0とm≦0の場合わけは、不要になる。
絶対値の処理の仕方で今までは、絶対値の中身がどうのこうの
と考えていましたが、この場合は不要だと言うことがわかりました。

回答No.1

tsuyoshi2004

|2x^2+2ax-1|=|x^2-1|
をそれぞれのケースにわけると
ア）2x^2+2ax-1=x^2-1
イ）-(2x^2+2ax-1)=x^2-1
ウ）2x^2+2ax-1=-(x^2-1)
エ）-(2x^2+2ax-1)=-(x^2-1)
に分けられるのは絶対値の定義からすれば当然です。

ところが、アとエ、イとウはそれぞれの両辺に－１を掛けたものです。従って、解くのは

2x^2+2ax-1=±(x^2-1)
（または±(2x^2+2ax-1)=x^2-1）の解の個数を求めればいいことになります。

もう少し、考えると
|a|=|b|の解は
a=bまたはa=-b
です。
決して、a>0ならばb>0やa≦0ならb≦0という制約はありません。
（|1|=|-1|は正しい等式です。）

お礼

回答ありがとうございます。
最後の例にある（|1|=|-1|は正しい等式です。）
だと1=-1ということも、”または”で含まれてしまうような気がします。
a|=|b|の解は
a=bまたはa=-b
で、”または”　だから不適な解も含まれてしまうようなことはないのか。
ということが、まだ自分としてはよくわかりません。