絶対値を外すときの判別式の利用について

質問

さきほど質問した者ですが、（http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3256644.html）
質問内容にミスがあったので質問しなおします。すみません。

|3x^2 +x +3| = 10
という方程式を解こうとする際、

【判別式D = 1 - 36 = -35 ＜ 0
よって、-(3x^2 +x +3) = 10】

という絶対値の外し方があると友達に教えてもらいました。

これって理にかなった方法ですか？
絶対値の中の方程式を判別式でやって、それが負ならマイナスで外れるんでしょうか？
また、今回は判別式の結果が負となりましたが、判別式が正、０の場合はどうなるんでしょうか？

それと、このテクニックが正しいものだとしたらそうなる理由を教えてもらえないでしょうか。

失礼いたしました。
ずっと考え込んでしまって先に進めないで射ます。
よろしくお願いします。

回答No.7

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

|f(x)| があったときに、

f(x)>0 が常に成立つなら、|f(x)| = f(x)
f(x)<0 が常に成立つなら、|f(x)| = - f(x)

というだけのことですよ。

その友達が言った（言おうとした？）判別式を使う方法は、要するに、

f(x) = 3x^2 + x + 3

という二次式で、

(1) 判別式 D = 1 - 36 < 0 だから解なし、
　　すなわち x軸と交わらない。
(2) x^2 の係数が 3>0 だから、下に凸。

という二つのことから、f(x) が常に x軸よりも上にあることがわかるので、

|3x^2 + x + 3| = 3x^2 + x + 3

にしよう、ということだけです。
（なぜかマイナスが付いているのは間違い。）

> 絶対値の中の方程式を判別式でやって、それが負ならマイナスで外れるんでしょうか？

そんな「法則」はありません。
判別式で言えることは、x軸と交わらない、
すなわち、いつも決まった符合だということだけです。
いつも正かもしれないし、いつも負かもしれません。
そのどちらかは、適当な値を代入してみるとか、
上下どちらに凸かですぐにわかります。

> また、今回は判別式の結果が負となりましたが、判別式が正、０の場合はどうなるんでしょうか？

判別式が正のときには、f(x)がx軸と二点で交わるわけですから、その交点を境にして、正→負→正、の値をとるか、負→正→負、の値をとるかです。領域ごとに絶対値|…|の外れ方がかわります。

f(x)>0 の領域では、|f(x)|=f(x)
f(x)<0 の領域なら、|f(x)|=-f(x)

になります。具体的にどういう領域かは、f(x)=0を解いて、境目になるxの値（二つある）を求め、それを元に考えます。

判別式が0のときには、一点で交わるので、その一点でf(x)=0になる以外は、常に正か、常に負かのどちらかですから、最初に説明したのと同じようなことになります

> ｜ax^2 + bx +c｜ の絶対値を外すときは、まず平方完成してみる。

判別式を見れば、いつも同じ符号ではずすべきか、場合わけすべきかがわかるので、それで十分です。他に必要がなければ平方完成の必要はないです。
つまり、ANo.6へのお礼の(ア)、(イ) だけで良いです。
ただし(ア)のところに、判別式 = 0 も含めておいてください。

もちろん、判別式を調べるかわりに、平方完成してみる方法でも良いですが、それはそれでやればよく、後から判別式とかを考えなくてもできます。問題によって楽そうなほうを選べば良いでしょう。
ANo.6へのお礼には、二つの方法がごっちゃになって書いてありますよ。

あまりマニュアルを覚えて、それをそのま使おうという考えかたではなくて、一つ一つ正しいことを納得しながら問題を解くと良いですよ。

回答No.6

Quattro99

まだ、友だちの説明したときと問題の条件が違うのでは？
例えば、|ax^2 +bx +c| = 10という方程式の実数解を求めるという問題でaが負の数であるときなら、ax^2 +bx +c=0の判別式が負であれば、y=ax^2 +bx +cは上に凸でx軸と交点を持たないので実数範囲では常に負であるとわかり-(ax^2 +bx +c) = 10と絶対値を外すことが出来ます。
場合分けして絶対値の中が正のときを計算しても実数解が得られない、虚数解しか得られないということがわかるのでやる必要がないということです。

aが正のときで判別式が負なら、絶対値はそのまま外せることになります。

お礼

えっと、皆さんの意見を参考にして、もう一度参考書を見直して、
改めて自分なりに考えて整理してみたんですが、

｜ax^2 + bx +c｜ の絶対値を外すときは、まず平方完成してみる。

(1)平方完成した結果、定数項がプラスならば、（）^2 + 正の数
となり、絶対値はプラスで外れて解決。

(2)平方完成した結果、定数項がマイナスならば、ax^2 + bx +cの判別式をとってみる。

そして、

（ア）ax^2 + bx +cの判別式が負なら、aがプラスなら絶対値全体もプラスで外れるし、aがマイナスなら絶対値全体もマイナスで外れる。
つまり絶対値全体の正負はプラスかマイナスどちらかに絞れる。

（イ）ax^2 + bx +cの判別式が正なら、ax^2 + bx +c≧0 or ax^2 + bx +c＜0 で場合分けをする。

（ウ）ax^2 + bx +cの判別式は0にならない。（0になるなら(1)の時の平方完成で解決しているはずだから。）

これでどうでしょうか？

この整理の仕方で問題・不備があれば申し訳ありませんが再度アドバイス下さい。（あ、合ってたら合ってるよとも教えてください。汗）

回答No.5

noname#56760

>>(1)平方完成して見る。そして、後ろの定数項が正の数となれば、二乗して正の数＋正の数でプラスだとわかる。
y=a(x+p)^2+q
で(x+p)^2≧０は明らかで
　q≧０かつａ≧０ならｙ≧０です。

(2)もし後ろの定数項が負になってしまった場合、No.1の方が仰るように、図形的に考えてプラスかマイナスかを判別する。

いつも紙に書く必要はありませんが、どのような図形になるかは考えておいた方が、問題を解くときに役立ちます。これから先、面積や接線を扱ったりしますし。

回答No.4

info22

友達のやり方は間違っていますので絶対値のはずし方の方法として頭の中から忘れ去って下さい。

絶対値をはずすと
(3x^2 +x +3) = 10
となります。この方程式は解を２つ持ちます。

お勧めは
y=絶対値の中のxの多項式=f(x)
のグラフを描いて、y＜0の部分をyの正側に折り返す。折り返したy＜0の部分のxの範囲に対して|f(x)|=-f(x)とします。
いまの場合はf(x)＞0(D＜0)ですので折り返す部分かなく、絶対値はf(x)のままです。
判別式Dは絶対値とは関係なく絶対値の中のf(x）を0とおいた方程式の解の個数を判別する式であることを記憶して、絶対値をはずす場合にはy=f(x)のグラフと関連づけてDを使うようにして下さい。

回答No.3

10ken16

かなっていません。

そもそも、｜　｜の内部は
ｘがいかなる値をとっても正です。

それを確かめるために、
・最高時の係数が正であること、
・判別式が負であること
の２条件を用いたのでは？

ｙ＝3x^2+x+3　　『3(x-1/6)^2＋35/18』　と
ｙ＝10
の交点をもとめてみましょう。

お礼

え、｜a｜で、a<o
ならば｜a｜= -a
となるんじゃないんですか？

それと今回の質問とは話が違うのでしょうか？

回答No.2

noname#56760

http://cosmath.cocolog-nifty.com/blog/images/image012.jpg
↑絶対値つきの式は、図のように負になる部分(X軸より下)を正にします（X軸より上）。図では放物線のy座標が負になっている部分が転写されてＷのような形になっています。

グラフを書いて解くことが多いことを考えると平方完成した方がよいと思います。知らない人もいますが、平方完成すると同時に判別式も得られます。
ax^2 + bx + c =
a {x^2 + (b/a) x} + c =
a ([x + {b/(2a)}]^2 - [(b^2)/{4 (a^2)}]) + c =
a [x + {b/(2a)}]^2 - {(b^2)/(4 a)} + c =
a [x + {b/(2a)}]^2 - {(b^2 - 4ac)/(4 a)} =
a [x + {b/(2a)}]^2 - {D/(4 a)}
となり判別式のＤが出ます。

実際に平方完成をやってから、後ろの定数部分を-4a倍したものがDです。

ｙ＝3x^2 +x +3＝3(x+1/6)^2+35/12
この時点でグラフからｙは負にはならないことが分かります。
更にｙ＝０の判別式は
D=(-4)*3*35/12=-35
と得られます。
　どうせ判別式をつかうなら平方完成してしまった方がよいと思います。一つの作業で5個の物を得られますし。
3個目解です
x = [-b±√{D}]/2a
4個目は放物線の対称軸です。
ｘ＝-b/2a
5個目は放物線とX軸との交点同士の距離ｄです。（ｘ軸と交わるときだけ）
ｄ＝|√Ｄ/a|

お礼

回答ありがとうございました。
質問した後、平方完成してみて、間違いだということには気付きました。

凄い！平方完成だけで判別式もわかるんですね！覚えて起きます。

確認ですが、
(1)平方完成して見る。そして、後ろの定数項が正の数となれば、二乗して正の数＋正の数でプラスだとわかる。
(2)もし後ろの定数項が負になってしまった場合、No.1の方が仰るように、図形的に考えてプラスかマイナスかを判別する。

こういう感じで覚えておけばよろしいのでしょうか？

回答No.1

dora_goo

間違いです。

２次関数y=3x^2+x+3のグラフを考えてください。
判別式D<0ということは，グラフとx軸との共有点はありません。
また，２次の項の係数は3>0ですから，グラフは下に凸の放物線となります。
したがって，グラフはつねにx軸の上側にあることになり，つねにy>0，すなわち，つねに3x^2+x+3>0となります。
よって，与えられた方程式は，3x^2+x+3=10，すなわち，3x^2+x-7=0となります。
後は，解の公式で解いてください。

しかし，解が美しくありません。
問題のどこか間違っていませんか？

お礼

グラフはそう考えればいいのですね。
ありがとうございました。